2019年高考數學命題新特點展望
——“六核四性一化”之我見

浙江

早在十五年前，在“數學通訊”上就提出高考數學命題的“六化”趨勢，即實際問題數學化、高等數學初等化、學科問題綜合化、問題內容創新化、形式結構開放化和自主探究課題化.如今，2019年高考數學大綱明確提出來的“六核四性一化”與“六化”屬性相同，觀點一致，2019年高考數學大綱中明確將數學學科核心素養滲透到高考數學命題之中，“在能力要求內涵方面，增加了基礎性、綜合性、應用性、創新性的要求，增加了數學文化的要求.同時對能力要求進行了加細說明，使能力要求更加明確具體”，提出了從數學思想方法、數學能力、數學的科學與人文價值三個方面考查學生的數學學習情況，體現了知識與能力并重，科學與人文兼顧的精神，有利于引導中學數學教學更加注重思想性、文化性、靈活性，有利于實現全面提升和培養學生綜合的數學素養，高考與新課程改革的同步聯系，大綱修改契合課程標準的修訂方向，2019年以前的各地高考數學命題已經有所展示，2019年高考數學試題將把六大核心數學素養“數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，運算能力，數據分析”滲透于“基礎性，綜合性，應用性，創新性，數學文化”之中，使之更加突出.

1.基礎性為數學理解之前提

數學復習突出對數學概念、基本運算、基本性質的整體理解、掌握與運用，力求全面而有效，僅僅一知半解，死套公式可能就不行了，特別是教與學中的“題型+方法”的風格要做改變，基礎性一定體現在對核心知識點的理解與掌握，對數學基本方法與推理過程完整全面的理解，高考數學的基礎性還體現在“數學抽象”“邏輯推理”“運算能力”等核心素養上.

比如，集合元素個數的計算card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)是一個非常基礎的數學知識點，下列問題將其恰到好處地設計其中，

例1.(原創)A6={(x1,x2,x3)|xi=1,2,3,4,5,6,i=1,2,3且6|x1x2x3}(“|”表示整除)，從集合A6中隨機抽取一個元素(x1,x2,x3)，使得12|(x1+x2+x3)的概率為

( )

滿足“12|(x1+x2+x3)”的元素只有(1，5，6)(2，4，6)(3，4，5)三類，

解讀：計算card(A6)是本題最核心、最基礎的部分，學生可能會用分類討論方式解決card(A6)的計算問題，但困難重重，失誤多多，然而利用集合元素個數的計算公式卻如此簡潔恰當！值得一提的是集合語言的抽象性也是學生思維的障礙點，將A6用另一種語言描述為“集合A6是由一枚骰子連續投三次出現的點數，其積被6整除而組成的元素全體.”

2.綜合性為有效復習之抓手

高考數學命題突出知識交匯處的融合，體現數學知識的內在聯系，在過去十多年的高考數學命題中，這一方面已展現得十分得體，綜合性不僅體現在命題本身的內在需要，而且也體現在檢測學生面對綜合性問題的分析思考能力，化綜合為單一，化綜合為具體，化綜合為層層遞進.新課程高考數學題將數學知識融合或交匯變為一種趨勢.比如，2013年四川題將程序框圖與抽樣的頻率分布圖融合，把數據收集方法與數學處理方法交織在一起；隨機變量的分布與統計和程序設計融合，反映統計工作者的實際工作的全過程；湖北題將正態分布與線性規劃融合；江西題將概率與向量交匯等，以此檢測考生應用概率統計知識解決實際問題的能力，“數學建?！迸c“數據分析”核心素養成為概率統計命題的重中之重.

例2.(2013·湖北卷理·20)假設每天從甲地去乙地的旅客人數X是服從正態分布N(800,502)的隨機變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為p0.

(Ⅰ)求p0的值；

(參考數據：若X～N(μ,σ2),有P(μ-σ

(Ⅱ)某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業務，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛.若每天要以不小于p0的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備A型車、B型車各多少輛？

P(η≤2)=P(-2≤η≤2)+P(η≤-2)=P(-2≤η≤2)+P(η≥2)=P(-2≤η≤2)+(1-P(η≤2)),

2P(η≤2)=1+P(-2≤η≤2)=1.954 4,p0=P(η≤2)=0.977 2.

解法二：由于隨機變量X服從正態分布N(800,502)，故有μ=800,σ=50,P(700

(Ⅱ)設配備A型車，B型車數量分別為x,y輛，則相應的營運成本為1 600x+2 400y，依題意，x,y還需滿足x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0,

由(Ⅰ)知，p0=(X≤900)，故P(X≤36x+60y)≥p0等價于36x+60y≥900,

且使目標函數z=1 600x+2 400y達到最小的x,y.

作可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，可行域的三個頂點分別為P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)，

解讀：將概率統計知識與線性規劃知識自然融合，避開現有應用題的模式，保持適度創新，規避題型套路，強調通性通法，淡化特殊技巧，并不等于一味地迎合中學教學盛行的題型套路.試題采用“適度創新”和“規避模式”的做法，做到“新、變”但不怪，“新、變”而不難.題面形式：用概率p0將正態分布與線性規劃問題有機結合在一起.

3.應用性為應用能力之體驗

數學復習中滲透且突出數學建模意識、解決實際問題的能力與素養的檢測，自1995年數學應用題進入高考數學試卷以來，數學應用問題的教學與高考數學命題所占份額各地不盡相同，差異較大，然而，數學命題的應用性不僅體現數學在實際問題中的應用，而且也強調數學內部的知識與知識間的應用，數學的三大語言(自然語言、符號語言、圖形語言)的綜合應用.

( )

解讀：此題的創作突出自然語言、符號語言、圖形語言的融合，體現解析幾何、立體幾何和解三角形的綜合，通徑概念在教材上已介紹，將圓錐曲線與空間圖形有機結合，把三大語言應用于圓錐曲線基本量與空間圖形中度量關系的融合交匯上，此例可以繼續挖掘，變換不同的三個點F1，A，B或頂點，A，B或中心，A，B等，曲線可由橢圓變成雙曲線或拋物線或其他曲線等，可以產生不同的數量關系.

4.創新性為拓展思維之巔峰

高考數學命題的最大特點在于它的創新性，數學復習時突出設問角度的進一步創新，設問條件的進一步抽象，呈現出命題與研究性學習方法相融合，命題與數學模型的進一步深化相融合，命題與探究性相融合，命題與時代氣息相融合等等.

例4.(原創)在古運河上建有許多形狀相同的拋物線型拱橋An(n=0，1，2，…)，經測量知，相鄰兩座橋之間的距離an近似滿足an=800+150n(n=1，2，3，…).這些拱橋當水面距拱頂5米時，橋洞水面寬為8米，每年汛期，船公都要考慮拱橋的通行問題.一只寬4米，裝有防汛器材的船，露出水面部分的高為0.75米.

(Ⅰ)要使該船能順利通過拱橋，試問水面距拱頂的高度至少幾米？

(Ⅱ)已知河水每小時上漲0.15米，船在靜水中的速度為0.4米/秒，水流速度為15米/分，若船從A0橋起錨順水航行時，河水開始上漲，試問船將在哪一座橋可能受阻？

(Ⅲ)若船通過An-1橋后，An橋可能受阻，你會采取什么措施使該船順利通過此橋？(船長、橋寬、采取措施所用時間忽略不計)

(Ⅲ)當船通過An-1橋后，發現船可能在An橋受阻，船公可以立即采取加快船速的方法；或者給船加載使船體下沉(不超過0.75米)等方法，使船順利通過An橋，此答案不唯一.

解讀：浙江許多城市都是水鄉、橋鄉，由景生題，編制上述問題.問題以綜合分析能力立意，將數列、拋物線、方程等知識融為一體，主要測試學生的閱讀理解能力、綜合應用能力及數學思維能力，包括思維的嚴密性：第(Ⅰ)問容易漏掉0.75，第(Ⅱ)問容易錯將n定為19；思維的發散性：只要將第(Ⅱ)問中的“順水”刪除，學生需要考慮兩種情形：順水和逆水；思維的創造性：第(Ⅲ)問既測試學生的綜合素質，又為學生的創新思維提供了空間，使問題具有開放性和廣泛性.

5.數學文化為提升素養之韻

我國進入新時代，在基礎教育中突出“以德育人”，如何將數學的教育功能滲透于高考數學之中是數學命題專家一直在探索的課題，為此，高考數學復習突出提煉數學問題的數學思想，突出數學傳統文化的滲透，王梓坤先生曾說：“數學文化具有比數學知識體系更為豐富和深邃的文化內涵，數學文化是對數學知識、技能、能力和素養等概念的高度概括.”可見，數學文化和傳統的命題素材并不沖突，從時間跨度來看，從古代到現代，只要是精華，在數學命題時就有繼承的必要，毫無疑問，在數學復習中加5%的數學文化傳承的試題，給予學生數學概念本質的傳授、數學解題方法的傳授是必要的，但在介紹數學概念的同時，滲透數學文化，滲透中華數學文化的經典也是必要的.

例5.(2011·湖北卷理·15)給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：

由此推斷，當n=6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有________種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有________種.(結果用數值表示)

解析：首先將題讀懂.為使黑色正方形互不相鄰：

n=1時，每列只1個小方格，僅有黑，白各一個小方格，共2種形式；

n=2時，每列2個小方格，至多只能將1個方格著黑，故有白，黑；黑，白；白，白3種形式；

n=3時，每列3個小方格，有2格著黑的1種，一格著黑的3種，全白的1種，共5種形式；

n=4時，每列4個小方格，有2格著黑的3種，1格著黑的4種，全白的1種，共計3+4+1=8種形式;

以上共計4+10+6+1=21種形式.此外，不受限制的著色方案，每個小方塊都有黑，白兩種著色方案，所以6個小方塊共有26=64種著色方案.如前所述，其中黑色正方形互不相鄰的著色方案有21種，故至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有64-21=43種.

觀察研究當n=1,2,3,4,…時符合題意的著色方案，其數量依次為2,3,5,8,13,21，….這是我們多么熟悉的黃金數列，也就是n≥2時，每后一項等于其前2項之和.如果考生們運用此方案，就能夠在幾秒鐘內找到正確答案.

解讀：該題一方面可以看成是涂色問題，運用排列組合相關知識可以解答；另一方面可以找出規律，發現這其實是一個斐波那契數列問題，運用數列相關知識解決，所以此題是一道典型的具有數學文化背景的高考試題.其創新之處就是在四色問題和斐波那契數列的基礎上，以圖形為依托，表面上是一道普通的涂色問題，考查的是排列組合知識；實質上通過創設一個斐波那契數列的問題情境，考查學生的歸納猜想能力和合情推理意識.從命題的角度講，該題基于數學文化，屬于經典問題改造，這種改造，主要是形式上的，但是這種改造仍使很多考生不適應，究其原因，學生或者是缺乏數學文化的素養，或者是不能透過表面現象去洞察問題的實質.