核心素養導向下全國理科卷“函數與導數”試題研究與備考

廣東

1 近六年全國理科卷高考試題考查情況的統計與分析

1.1近六年高考全國卷理科數學試題分布

1.1.1近六年高考全國卷Ⅰ理科數學試題分布

年份試卷類型題號分數占比考查知識點2013卷Ⅰ11、16、212214.67%11.分段函數含絕對值不等式求參數范圍16.函數的對稱性及最大值21.(Ⅰ)已知切線求參數,(Ⅱ)不等式下求參數范圍2014卷Ⅰ3、11、212214.67%3.函數的奇偶性11.三次函數有零點,求參數范圍21.(Ⅰ)已知切線求參數,(Ⅱ)證明不等式2015卷Ⅰ12、13、212214.67%12.函數與導數結合,不等式求參數范圍13.函數的奇偶性21.(Ⅰ)已知切線求參數,(Ⅱ)討論零點2016卷Ⅰ7、12、212214.67%7.函數圖象12.已知三角函數的單調區間求參數范圍21.(Ⅰ)有零點求參數范圍,(Ⅱ)證明不等式2017卷Ⅰ5、11、16、212718%5.函數的奇偶性與不等式11.指數的大小比較16.函數導數結合立體幾何21.(Ⅰ)討論單調性,(Ⅱ)有兩個零點求參數范圍2018卷Ⅰ5、9、16、212718%5.函數的奇偶性與切線方程9.分段函數的零點與參數的取值范圍16.函數的最值21.(Ⅰ)函數的單調性,(Ⅱ)函數的零點與不等式的證明

1.1.2近六年高考全國卷Ⅱ理科數學試題分布

年份試卷類型題號分數占比考查知識點2013卷Ⅱ8、10、212214.67%8.對數的大小比較10.三次函數的圖象與性質21.(Ⅰ)討論單調性,(Ⅱ)證明不等式2014卷Ⅱ8、12、15、212718%8.已知切線求參數12.存在極值求參數范圍15.利用奇偶性、單調性,求不等式解集21.(Ⅰ)討論單調性,(Ⅱ)分類討論求最大值,(Ⅲ)賦值法求近似值2015卷Ⅱ5、10、12、212718%5.分段函數求值10.函數解析式與圖象12.利用奇偶性、導數與單調性求不等式解集21.(Ⅰ)單調性證明,(Ⅱ)已知不等式恒成立求參數范圍2016卷Ⅱ12、16、212214.67%12.函數圖象的對稱性16.已知切線求參數21.(Ⅰ)討論單調性、證明不等式,(Ⅱ)含參前提下求值域2017卷Ⅱ11、211711.33%11.求極小值21.(Ⅰ)已知不等式求參數范圍,(Ⅱ)極值與不等式證明(隱零點問題)2018卷Ⅱ3、11、13、212718%3.函數的圖象11.函數的奇偶性13.曲線的切線方程21.(Ⅰ)不等式的證明,(Ⅱ)函數的零點與求參數的值

1.1.3近三年高考全國卷Ⅲ理科數學試題分布

年份試卷類型題號分數占比考查知識點2016卷Ⅲ6、15、212214.67%6.冪函數15.函數的奇偶性,及求某點處的切線方程21.(Ⅰ)求三解函數的導數,(Ⅱ)三角函數與導數結合求最值,(Ⅲ)三角函數與導數結合證明不等式2017卷Ⅲ11、15、212214.67%11.已知函數有零點求參數15.解分段函數不等式21.(Ⅰ)已知不等式求參數范圍,(Ⅱ)利用函數放縮求數列和的最值2018卷Ⅲ7、14、212214.67%7.四次函數的圖象14.曲線的切線方程21.(Ⅰ)不等式的證明,(Ⅱ)利用函數的極值點求參數的值

1.2“函數與導數”的命題特點

1.2.1考查形式和分值占比穩定，形式略有創新

卷Ⅰ往年一般是兩道小題和一道解答題，簡稱兩小一大，共22分，2017、2018年是三小一大，共27分，并且注重在知識的交匯處命題，如2018年卷Ⅰ第16題考查導數在三角函數中的應用，2017年卷Ⅰ第16題綜合考查立體幾何與函數及導數，體現了試題在代數與幾何結合中的應用；卷Ⅱ稍有波動，2017年是一小一大，分值17分，2013、2016年是兩小一大，分值22分，2014、2015、2018年有所增加，三小一大，分值27分；從2016年開始有全國卷Ⅲ，試題基本穩定，兩小一大，分值22分.總體上看“函數與導數”高考命題風格穩定與創新共存，分值占比穩定在11.33%—18%，選擇填空題有易有難，解答題固定在壓軸題，大多都是兩問，卷Ⅰ、卷Ⅱ解答題難度有所降低，但卷Ⅲ難度很大，說明總趨勢有所降低，但依然存在許多不穩定因素.

1.2.2考查知識點全面

近六年來高考全國卷理科數學試題對“函數與導數”內容考查知識點比較全面，重點考查學生對基本概念、基本公式、基本定理的理解和應用，兼顧考查數學能力、數學思想方法以及數學核心素養.小題主要考查函數圖象性質、導數的幾何意義等，包括函數圖象識別、函數的單調性、對稱性、奇偶性以及周期性、切線問題，其中指數和對數函數的性質及其運算有加強的趨勢，比如2017年理科卷Ⅰ第11題，設x,y,z為正數，且2x=3y=5z，比較2x,3y,5z的大小，重點考查了指數與對數的轉化和對數的運算，意在考查考生推理論證能力以及運算求解能力.解答題主要考查函數與導數的應用，注重細化分類、討論單調性，結合圖形討論零點與最值，注重證明不等式的技巧與方法.

1.2.3凸顯能力立意，承載壓軸使命

“函數與導數”多以中檔題和難題為主，試題層次分明，區分度好，解法靈活多變，充分體現了試題設計的基礎性、綜合性、創新性以及應用性，較好地考查了不同層次學生的分析問題和解決問題的能力，其中解答題為試卷壓軸題，服務高效選拔，突出對學生推理論證能力、抽象概括、運算求解能力以及邏輯推理、數學抽象、數學運算等學科核心素養的考查.

2 “函數與導數”命題角度分析

研究歷年高考真題，力求真題引領教學方向，通過對近六年高考全國理科卷“函數與導數”命題特點分析，“函數與導數”試題主要考查了以下幾種類型的問題.

2.1有關“函數的圖象和性質”試題

2.1.1判斷函數的單調性、奇偶性、對稱性、識別函數的圖象

例1.(2014·全國卷Ⅰ理·3)設函數f(x),g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是

( )

A.f(x)g(x)是偶函數 B.|f(x)|g(x)是奇函數

C.f(x)|g(x)|是奇函數 D.|f(x)g(x)|是奇函數

評析:本題主要考查函數的奇偶性

答案：C.

( )

A

B

C

D

評析:本題是根據函數的解析式判斷函數的圖象，也是近幾年高考的常考題型，偶爾也需要先根據題目條件建立函數模型，再來判斷函數的解析式或者研究函數的圖象性質，更加深刻地考查學生的數學建模、數學抽象、邏輯推理、直觀想象等學科素養.例如2015年理科卷Ⅱ第10題、2017年理科卷Ⅰ第16題.

答案：B

例3.(2015·全國卷Ⅱ理·10)如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點.點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x.將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的函數f(x)，則y=f(x)的圖象大致為

( )

A

B

C

D

答案：B.

例4.(2017·全國卷Ⅰ理·16)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________.

2.1.2求函數的函數值或者參數

例5.(2018·全國卷Ⅱ理·11)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

( )

A.-50 B.0

C.2 D.50

評析：本題主要考查抽象函數的奇偶性、周期性，考查學生數形結合能力以及分析問題、解決問題的能力，考查邏輯推理、數學運算核心素養.

答案：C.

例6.(2013·全國卷Ⅰ理·16)若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值為________.

評析：本題是根據函數的對稱性求函數解析式的參數，進而求函數的最大值.

答案：16.

評析：本題是根據函數的奇偶性求函數解析式中的參數.

答案：1.

2.2運用導數研究函數的性質

“函數與導數”是高中數學的重要內容，研究函數離不開導數這個工具，利用導數研究函數的性質是高考熱點問題，包括研究函數單調性、極值、最值、切線和函數的零點等問題，特別是有關函數零點的試題更是備受全國卷青睞，運用導數研究函數的性質往往需要畫出函數圖象的草圖，利用數形結合的思想來分析解決問題.

例8.(2018·全國卷Ⅰ理·5)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數，則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為

( )

A.y=-2xB.y=-x

C.y=2xD.y=x

評析：此題比較簡單，考查函數的性質與利用導數工具求切線方程，充分體現了命題者考基礎、考概念的基本思路.本題主要考查奇函數的定義、導數的幾何意義，考查運算求解能力，考查的核心素養是數學運算.

答案：D.

例9.(2018·全國卷Ⅱ理·13)曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為________.

評析：主要考查導數的幾何意義，考查的核心素養是數學運算.

答案：y=2x.

例10.(2018·全國卷Ⅲ理·14)曲線y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為-2，則a=________.

評析：本題主要考查導數的幾何意義，考查考生分析問題、解決問題的能力，考查的核心素養是數學運算.

答案：-3.

例11.(2016·全國卷Ⅱ理·16)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=________.

評析：本題考查導數在研究函數圖象(曲線)的切線中的應用及方程思想，對考生的基本運算能力有較高的要求.

答案：1-ln2.

例12.(2018·全國卷Ⅰ理·16)已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是________.

評析：本題主要考查三角函數的最值，導數的應用，考查考生的化歸與轉化能力、運算求解能力，考查的核心素養是數學運算.

(Ⅰ)當a為何值時，x軸為曲線y=f(x)的切線；

(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值，設函數h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，討論h(x)零點的個數.

例14.(2016·全國卷Ⅰ理·21)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

答案：(Ⅰ)a的取值范圍為(0，+∞).(Ⅱ)證明略.

例15.(2018·全國卷Ⅱ理·21)已知函數f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a.

例16.(2015·全國卷Ⅰ理·12)設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1，若存在唯一的整數x0使得f(x0)<0，則a的取值范圍是

( )

答案：D.

2.3運用導數研究不等式問題

“函數與導數”解答題作為壓軸題，第二問常常出現不等式證明問題，不等式恒成立問題以及函數零點問題，解決此類問題的通法一般是通過合理轉化與恰當構造新函數，然后利用導數去解決問題.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

例18.(2018·全國卷Ⅱ理·21)已知函數f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a.

例19.(2013·全國卷Ⅱ理·21)已知函數f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；

(Ⅱ)當m≤2時，證明：f(x)>0.

本題第二問不等式證明中涉及的隱零點(導函數的零點存在但不易求出)是近幾年備考全國卷的熱點問題，在各地模擬試題中屢見不鮮，解決隱零點問題通常采用對導函數零點“設而不求”“整體代換”的技巧來研究.

答案：(Ⅰ)m=1,f(x)在(-1，0)上單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增.(Ⅱ)證明略.

3 備考建議

3.1緊扣教材，夯實基礎

在復習備考中，要依靠考綱，緊扣教材，做到源于課本、高于課本，夯實數學基礎知識，引導學生構建“函數與導數”的知識網絡，重視數學基本思想的形成，注重通性通法的積累和熟練應用.第一，以形助數，抓住函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性等函數的基本性質；第二，對于各類切線問題要重點訓練，含參函數分類討論單調性要做到熟練與精通；第三，注意基本函數的各種組合模型，讓學生熟悉以組合為載體考查單調性，極值、最值、零點問題，特別是ex與lnx兩個初等函數與一次函數、二次函數、分式函數相結合.(注意：既是零點又是極值點這類題目的分類討論，特別是恒成立求參數的取值范圍時這一方法經常采用，比如2010年湖北理科卷第21題、2012年天津理科卷第20題、2015年北京理科卷第18題、2015年山東理科卷第21題，2016年江蘇第19題)

3.2因材施教,實施分層教學策略

3.3培養“創新意識”，強化“探究能力”