一元一次不等式(組)的求解對策(基礎篇)

宋 揚

(江蘇省揚州市田家炳實驗中學 225000)

一、概念題(含不等式性質的運用)

例1 下列說法錯誤的是( )．

A.若a>b，則a-c>b-cB.若a-c>b-c，則a>b

C.若a>b，則ac2>bc2D.若ac2>bc2，則a>b

解根據不等式的性質，對各個選項逐一判斷，選C．

要點指導：應密切關注“0”存在與否，以防掉進“0”的陷阱．

例2 若(m-1)x|m|+4>0是關于x的一元一次不等式，其解集為．

解由一元一次不等式的定義可知 |m|=1，且m-1≠0，得m=-1，從而原不等式即為-2x+4>0，其解集為x<2．

要點指導：基本概念不容忽視．根據定義，掌握一元一次不等式的特征是解本題(或類似題型)的關鍵．

二、怎樣解一元一次不等式

主要依據不等式的解集的意義和不等式的性質求解，其一般步驟與解方程類似，通常按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1的步驟進行，并能具體情況具體對待．另一方面，要特別注意與解方程不同的地方．

解4(2x-1)≤3(3x+2)-12，8x-4≤9x+6-12，8x-9x≤6-12+4，-x≤-2，得x≥2．所以原不等式的解集為x≥2，在數軸上表示為：(略)

要點指導：(1)在去分母或系數化為1時，若不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數，要改變不等號的方向；(2)常常會出現與解方程類似的錯誤，比如去分母時漏乘不帶分母的項，移項時忘記改變該項的符號等；(3)移項時，不等號的方向不變．想一想，為什么?

三、怎樣解一元一次不等式組

主要依據不等式組的解集的意義求解，其一般步驟是先分別求出各個不等式的解集，然后求其公共部分，即為不等式組的解集．

求公共部分，有數軸法和口訣法．數軸法是數形結合的方法，清晰直觀，通俗易懂，對數軸法所畫的示意圖的本義要講仔細，講明白，讓同學們真正理解到位．口訣法的優點是解題速度快，要在充分理解的基礎上記住口訣，熟練運用．

對于只有兩個不等式構成的不等式組，各自化簡后可歸結為四種基本情形，其求解口訣為：同大取大，同小取小，大小小大中間找(取中間)，大大小小無處找(無解了)．對于由多個不等式構成的不等式組，各自化簡后可先將所有不等式歸為兩類，大于的一類，小于的一類，其口訣為：同大取最大，同小取最小，然后歸結為另外兩種基本情形繼續求解．

所以原不等式組的解集為-3≤x<4，它的所有非負整數解為0,1,2,3．

要點指導：(1)解不等式組的過程中，不可將兩個不等式交叉運算變形，它與解方程組大不相同，要避免由解方程組的“加減法”給解不等式組帶來的負遷移所產生的錯誤；(2)本題在分別求出各個不等式的解集后，根據口訣“大小小大中間找”求得原不等式組的解集．

四、求不等式(組)的特殊解

類型對策：通常是先求出不等式(組)的解集，然后從中找出符合題意要求的特殊解．可具體參看上述例4，重點是后半部分．

五、解帶有參數的不等式(組)

類型對策：解含參數的不等式(組)，在參數的取值不能確定的情況下，應該對參數進行討論．是否需要全面討論，如何分段，要視具體情況而定．

注:本題中，若題設條件明確是解關于x的一元一次不等式組，則由①、②可知a≠0，只要討論a>0與a<0兩種情況．

要點指導：在解含參數的不等式組時，要善于對照解普通不等式組的四種基本情形(包括各自的結論)，正確運用口訣法，還要能逆向使用，全面考慮(包括端點)，靈活運用. 例5用到“同小取小”與“同大取大”這兩種情形；例6是逆向使用，用到“大小小大中間找”與“大大小小無處找”這兩種情形．

六、怎樣求解不等式(組)中的參數

不等式(組)中的參數求解問題，往往是與不等式(組)的解集相關的問題，就是說已經知道了某不等式(組)的解集或解集的部分信息，反過來求出該不等式(組)中參數的取值(或取值范圍)．

類型對策(常用的方法)：(1)逆用不等式(組)的解集確定；(2)借助數軸確定；(3)分類討論確定.

要點指導：本題是根據不等式組的解集，逆用“大大小小無解了”的口訣，同時應當注意考察端點的情況．

注:本題可運用的解題技巧有：暫作降格處理，逆用解集(及口訣)，直接(或借助數軸)觀察數據的變化趨勢等．

要點指導：(1)先求出關于變量的不等式(組)的解集(可用含參數的代數式表示)，然后根據其它已知條件列出關于參數的數學式子，繼而求解；(2)特別要注意，類似于例8這樣的題型，含參數的代數式的取值不是只有一個數，而是一個區間(取值范圍)，還要仔細考察在兩個端點是否應該取等號．

七、在參數可確定的情況下，怎樣解不等式(組)

類型對策：通常應根據已知條件，先求出參數或相關系數的取值(或范圍)，再求不等式(組)的解集．這類問題的求解，不宜對參數作泛泛的討論.

解由不等式組得2bb+5 即為(-5+3)x>1+5，解得x<-3，即為所求的不等式的解集．

要點指導：(1)根據不等式(組)的解集的兩種表示形式應該是一致的，列出關于參數的方程(組)，求出參數后，代入所要求解的不等式(組)，繼而求解；(2)本題兩個參數a、b的取值都是唯一確定的．

除上述內容外，不等式(組)求解的主要類型還有：可化為一元一次不等式(組)的問題，與數學其它知識點的綜合運用，在實際問題中的應用等，可謂五彩繽紛．限于篇幅，待另文發表．