一元一次不等式(組)的求解對(duì)策(基礎(chǔ)篇)

宋 揚(yáng)

(江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué) 225000)

一、概念題(含不等式性質(zhì)的運(yùn)用)

例1 下列說法錯(cuò)誤的是( )．

A.若a>b，則a-c>b-cB.若a-c>b-c，則a>b

C.若a>b，則ac2>bc2D.若ac2>bc2，則a>b

解根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，選C．

要點(diǎn)指導(dǎo)：應(yīng)密切關(guān)注“0”存在與否，以防掉進(jìn)“0”的陷阱．

例2 若(m-1)x|m|+4>0是關(guān)于x的一元一次不等式，其解集為．

解由一元一次不等式的定義可知 |m|=1，且m-1≠0，得m=-1，從而原不等式即為-2x+4>0，其解集為x<2．

要點(diǎn)指導(dǎo)：基本概念不容忽視．根據(jù)定義，掌握一元一次不等式的特征是解本題(或類似題型)的關(guān)鍵．

二、怎樣解一元一次不等式

主要依據(jù)不等式的解集的意義和不等式的性質(zhì)求解，其一般步驟與解方程類似，通常按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟進(jìn)行，并能具體情況具體對(duì)待．另一方面，要特別注意與解方程不同的地方．

解4(2x-1)≤3(3x+2)-12，8x-4≤9x+6-12，8x-9x≤6-12+4，-x≤-2，得x≥2．所以原不等式的解集為x≥2，在數(shù)軸上表示為：(略)

要點(diǎn)指導(dǎo)：(1)在去分母或系數(shù)化為1時(shí)，若不等式的兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，要改變不等號(hào)的方向；(2)常常會(huì)出現(xiàn)與解方程類似的錯(cuò)誤，比如去分母時(shí)漏乘不帶分母的項(xiàng)，移項(xiàng)時(shí)忘記改變?cè)擁?xiàng)的符號(hào)等；(3)移項(xiàng)時(shí)，不等號(hào)的方向不變．想一想，為什么?

三、怎樣解一元一次不等式組

主要依據(jù)不等式組的解集的意義求解，其一般步驟是先分別求出各個(gè)不等式的解集，然后求其公共部分，即為不等式組的解集．

求公共部分，有數(shù)軸法和口訣法．?dāng)?shù)軸法是數(shù)形結(jié)合的方法，清晰直觀，通俗易懂，對(duì)數(shù)軸法所畫的示意圖的本義要講仔細(xì)，講明白，讓同學(xué)們真正理解到位．口訣法的優(yōu)點(diǎn)是解題速度快，要在充分理解的基礎(chǔ)上記住口訣，熟練運(yùn)用．

對(duì)于只有兩個(gè)不等式構(gòu)成的不等式組，各自化簡(jiǎn)后可歸結(jié)為四種基本情形，其求解口訣為：同大取大，同小取小，大小小大中間找(取中間)，大大小小無處找(無解了)．對(duì)于由多個(gè)不等式構(gòu)成的不等式組，各自化簡(jiǎn)后可先將所有不等式歸為兩類，大于的一類，小于的一類，其口訣為：同大取最大，同小取最小，然后歸結(jié)為另外兩種基本情形繼續(xù)求解．

所以原不等式組的解集為-3≤x<4，它的所有非負(fù)整數(shù)解為0,1,2,3．

要點(diǎn)指導(dǎo)：(1)解不等式組的過程中，不可將兩個(gè)不等式交叉運(yùn)算變形，它與解方程組大不相同，要避免由解方程組的“加減法”給解不等式組帶來的負(fù)遷移所產(chǎn)生的錯(cuò)誤；(2)本題在分別求出各個(gè)不等式的解集后，根據(jù)口訣“大小小大中間找”求得原不等式組的解集．

四、求不等式(組)的特殊解

類型對(duì)策：通常是先求出不等式(組)的解集，然后從中找出符合題意要求的特殊解．可具體參看上述例4，重點(diǎn)是后半部分．

五、解帶有參數(shù)的不等式(組)

類型對(duì)策：解含參數(shù)的不等式(組)，在參數(shù)的取值不能確定的情況下，應(yīng)該對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．是否需要全面討論，如何分段，要視具體情況而定．

注:本題中，若題設(shè)條件明確是解關(guān)于x的一元一次不等式組，則由①、②可知a≠0，只要討論a>0與a<0兩種情況．

要點(diǎn)指導(dǎo)：在解含參數(shù)的不等式組時(shí)，要善于對(duì)照解普通不等式組的四種基本情形(包括各自的結(jié)論)，正確運(yùn)用口訣法，還要能逆向使用，全面考慮(包括端點(diǎn))，靈活運(yùn)用. 例5用到“同小取小”與“同大取大”這兩種情形；例6是逆向使用，用到“大小小大中間找”與“大大小小無處找”這兩種情形．

六、怎樣求解不等式(組)中的參數(shù)

不等式(組)中的參數(shù)求解問題，往往是與不等式(組)的解集相關(guān)的問題，就是說已經(jīng)知道了某不等式(組)的解集或解集的部分信息，反過來求出該不等式(組)中參數(shù)的取值(或取值范圍)．

類型對(duì)策(常用的方法)：(1)逆用不等式(組)的解集確定；(2)借助數(shù)軸確定；(3)分類討論確定.

要點(diǎn)指導(dǎo)：本題是根據(jù)不等式組的解集，逆用“大大小小無解了”的口訣，同時(shí)應(yīng)當(dāng)注意考察端點(diǎn)的情況．

注:本題可運(yùn)用的解題技巧有：暫作降格處理，逆用解集(及口訣)，直接(或借助數(shù)軸)觀察數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)等．

要點(diǎn)指導(dǎo)：(1)先求出關(guān)于變量的不等式(組)的解集(可用含參數(shù)的代數(shù)式表示)，然后根據(jù)其它已知條件列出關(guān)于參數(shù)的數(shù)學(xué)式子，繼而求解；(2)特別要注意，類似于例8這樣的題型，含參數(shù)的代數(shù)式的取值不是只有一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)區(qū)間(取值范圍)，還要仔細(xì)考察在兩個(gè)端點(diǎn)是否應(yīng)該取等號(hào)．

七、在參數(shù)可確定的情況下，怎樣解不等式(組)

類型對(duì)策：通常應(yīng)根據(jù)已知條件，先求出參數(shù)或相關(guān)系數(shù)的取值(或范圍)，再求不等式(組)的解集．這類問題的求解，不宜對(duì)參數(shù)作泛泛的討論.

解由不等式組得2bb+5 即為(-5+3)x>1+5，解得x<-3，即為所求的不等式的解集．

要點(diǎn)指導(dǎo)：(1)根據(jù)不等式(組)的解集的兩種表示形式應(yīng)該是一致的，列出關(guān)于參數(shù)的方程(組)，求出參數(shù)后，代入所要求解的不等式(組)，繼而求解；(2)本題兩個(gè)參數(shù)a、b的取值都是唯一確定的．

除上述內(nèi)容外，不等式(組)求解的主要類型還有：可化為一元一次不等式(組)的問題，與數(shù)學(xué)其它知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，在實(shí)際問題中的應(yīng)用等，可謂五彩繽紛．限于篇幅，待另文發(fā)表．