范 敏
(安徽省銅陵市愛國小學(xué) 244000)
“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題,最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中.是具備趣味性、挑戰(zhàn)性及培養(yǎng)學(xué)生思維能力、邏輯能力的典型題型.常見的解法有:列表法、假設(shè)法、圖示法、解方程法、金雞獨(dú)立法、抬腳法、砍腳法、安腳法、面積法.
案例呈現(xiàn)
例1雞兔同籠,有5個頭,14只腳,問雞、兔各幾只?
師:請同學(xué)們讀一讀,你從題里知道了幾個條件?分別是什么?籠子里有多少只雞和兔,我們一起來猜一猜好嗎?
師:如果遇到數(shù)目大的時候,這種方法行嗎?怎么辦呢?(過渡到假設(shè)法)
生:假設(shè)全是雞:
5×2=10(只)……如果把兔全當(dāng)成雞一共就有10只腳.
14-10=4(只)……每只兔就少了2只腳,4只腳是少算了兔的腳數(shù).
4-2=2(只)……1只兔當(dāng)成1只雞就要少算2只腳.
4÷2=2(只) ……那把多少只兔當(dāng)成雞算就會少4條腿呢?就看4里面有幾個2就是把幾只兔當(dāng)成了雞來算,所以4÷2=2就是兔的只數(shù).
師:除了假設(shè)全是雞還可以怎么假設(shè)?
生:假設(shè)全是兔……
在執(zhí)教”雞兔同籠”問題時,老師們常常運(yùn)用猜測和列表,初步感知發(fā)現(xiàn)形成規(guī)律,進(jìn)而過渡到假設(shè)全是雞或兔的情況,在老師提出讓學(xué)生假設(shè)時,學(xué)生馬上能給出假設(shè)全是雞或兔的情況.筆者認(rèn)為這是教師主觀的“慣性假設(shè)思想”.首先學(xué)生不了解什么是假設(shè)法,他可以怎樣假設(shè),其次是不理解為什么選擇假設(shè)全部都是雞或兔.
策略呈現(xiàn) 例1雞兔同籠,有5個頭,14只腳,問雞、兔各幾只?
師:籠子里有多少只雞和兔,我們一起來猜一猜好嗎?
生1:可能有1只雞4只兔.
……
生5:可能有5只雞0只兔.
師:咱們可以將剛才猜測的不同情況列出表格.

雞012345兔543210腳201816141210
師:你有什么發(fā)現(xiàn)么?誰猜對了?
生:我發(fā)現(xiàn)×××猜得很準(zhǔn)確:3只雞2只兔剛好14只腳.
師:他是不是每次都能猜對呢?
生:不能每次都能猜到準(zhǔn)確答案.
師:仔細(xì)觀察表格你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎?
生1:我發(fā)現(xiàn)雞的只數(shù)越多總腳數(shù)就越少,反之兔的只數(shù)越總腳數(shù)就越多.
生2:雞和兔的總頭數(shù)都是不變的.
生3:從左往右看每增加一只雞,減少一只兔,總腳就減少2只.從右往左看每減少1只雞,增加1只兔,總腳數(shù)就增加2.
師:你的發(fā)現(xiàn)真了不起.根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)前面猜錯的同學(xué)可以補(bǔ)救調(diào)整得出正確結(jié)果么?
生4:哦,我知道了.剛才我猜的是4只雞1只兔,總腳數(shù)比實(shí)際腳數(shù)少2只.那我就可通過減少1只雞,增加1只兔總腳數(shù)就會增加2.就能得出3只雞2只兔共14只腳.
師:能聽懂么?覺得他這種調(diào)整的思路怎么樣?
生5:我覺得非常好,這個方法我也會了.我剛才猜的是1只雞4只兔,總腳數(shù)多了4只.我可以增加2只雞,減少2只兔子.總腳數(shù)就減少4只.得出正確結(jié)果是:3只雞2只兔.
師:看來這個方法很不錯.你們能根據(jù)這種調(diào)整的思路列出算式么?
生1:假設(shè)1只雞,4只兔
2×1+4×4=18(只) 18-14=4(只) 4÷2=2(只)
1+2=3(只雞) 4-2=2(只兔)
生2:假設(shè)2只雞,3只兔
2×2+3×4=16(只) 16-14=2(只) 2÷2=1(只)
2+1=3(只雞) 3-1=2(只兔)
生3:假設(shè)4只雞,1只兔
2×4+4×1=12(只) 14-12=2(只) 2÷2=1(只)
4-1=3(只雞) 1+1=2(只兔)
生4:假設(shè)全是雞
2×5=10(只) 14-10=4(只)
4÷2=2(只兔) 5-2=3(只雞)
生5:假設(shè)全是兔
4×5=20(只) 20-14=6(只)
6÷2=3(只雞) 5-3=2(只兔)
師:比較一下這幾種不同的假設(shè),你有什么發(fā)現(xiàn)么?
生1:這些都是沒有猜對答案,通過調(diào)整后得出結(jié)果的.
生2:我發(fā)現(xiàn)假設(shè)全是雞或兔的這2種情況在計算時更容易理解計算起來也更方便.……
蘇聯(lián)教育家贊可夫說過:凡是兒童自己能夠理解和感受的一切,都應(yīng)當(dāng)讓他們自己去理解和感受.
教師首先引導(dǎo)學(xué)生從列表法觀察發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的規(guī)律,讓學(xué)生在這一過程中體會到:根據(jù)表實(shí)際的總腳數(shù)與自己猜想的總腳數(shù)差,來調(diào)整數(shù)據(jù),對假設(shè)法的探究起到了鋪墊作用,進(jìn)而讓學(xué)生大膽嘗試采用各種可能性進(jìn)行假設(shè)發(fā)現(xiàn)每一種可能性均可通過假設(shè)—計算—推理—解答得出正確結(jié)果.最后讓學(xué)生觀察對比不同假設(shè)方案進(jìn)而得出假設(shè)都是雞或都是兔這兩種方案計算起來會更簡便算式也更容易理解,優(yōu)化了解題策略.從引導(dǎo)認(rèn)識到優(yōu)化假設(shè)方案循序漸進(jìn),水到渠成.
雖然本節(jié)課研究的內(nèi)容有些抽象,但這些抽象的東西其實(shí)都來源于現(xiàn)實(shí)生活.因此,真正的知識是來源于感性經(jīng)驗(yàn)的,我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不能脫離學(xué)生的經(jīng)驗(yàn),簡單枯燥的講解已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足現(xiàn)在學(xué)生的需要.所以數(shù)學(xué)課越來越注重加入動手操作、小組討論、合作學(xué)習(xí)等活動,希望通過活動讓學(xué)生獲得更多數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).直接的活動經(jīng)驗(yàn)可以通過猜想、繪畫、交流探討中獲得,而間接的經(jīng)驗(yàn)可以在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型中所獲得,思考的活動經(jīng)驗(yàn)需要通過分析、歸納等方法獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),如預(yù)測結(jié)果、探究成因等等.