一道有爭(zhēng)議的排列組合題的調(diào)查分析和教學(xué)啟示

胡愛芬

摘要：作為一位數(shù)學(xué)教師，也應(yīng)該要有數(shù)學(xué)家的基本思維方式。數(shù)學(xué)是一門公理化體系下的學(xué)科，許多問題應(yīng)該在定義，定理，公理的基礎(chǔ)上思考研究，而不是盲目的用經(jīng)驗(yàn)主義處理。教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生的提問，我們經(jīng)常會(huì)做出這樣的回答：“你那樣是錯(cuò)的，按老師的方法來。”在學(xué)生不滿意這樣的回答時(shí)，我們還會(huì)怪罪這個(gè)學(xué)生不聽話，不按照教師要求做。其實(shí)，如果我們能從書本上的定義、定理、基本概念出發(fā)，給學(xué)生解釋清楚來龍去脈，讓他心服口服，不僅僅能解決他的疑問，更是另一種形式的數(shù)學(xué)教育，甚至說，這才是作為數(shù)學(xué)教師真正應(yīng)該教會(huì)學(xué)生的東西。

關(guān)鍵詞：爭(zhēng)議;調(diào)查分析;教學(xué)啟示

中圖分類號(hào)：G633.6 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）01-0101

一、問題起源

在高三一輪復(fù)習(xí)的一次聽課中，有這樣一道小題：小明有3雙顏色相近的襪子（不分左右腳）。某天早晨，由于貪睡造成晚起，為了防止上學(xué)遲到，小明隨手從這3雙顏色相近的襪子中抓起兩只襪子套在腳上，拔腿就走。則小明穿的不是同一雙襪子的可能性有幾種（ ）。

A. 22B. 24C. 28D. 30

上課教師給出的參考答案是：因隨手抓，故每只襪子等可能被取到。完成穿好一雙不同色襪子這件事情，先從3雙襪子中選一雙，選一支套在左腳上，有C31×C21=6種不同的選法;再?gòu)氖Ｓ嗟膬呻p襪子中選一雙，選一支套在右腳上，有C21×C21=4種不同的選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，N=6×4=24種，故選B。

課堂上一位男生提出異議：因?yàn)轭}目中說不分左右腳，故小明穿的不是同一雙襪子的可能性只有N=A32=6，用A，B，C表示襪子的3種顏色，用（x，y）表示左腳穿x，右腳穿y襪子，列舉出來便是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）。上課教師很機(jī)智說：這位同學(xué)很有想法，敢于質(zhì)疑，敢于思辨，這樣思考也很有道理，這個(gè)問題我們課外再討論下，統(tǒng)一答復(fù)。

二、問卷調(diào)查

這是一道高三的一輪復(fù)習(xí)題，此時(shí)筆者正在教高二，于是想若將這道題改成填空題并讓已學(xué)過計(jì)數(shù)原理、排列組合及概率的高二學(xué)生做又會(huì)怎樣呢？是否也產(chǎn)生與高三學(xué)生類似的情況？因此，筆者就對(duì)高二年級(jí)程度相對(duì)較好的一個(gè)學(xué)軍班和三個(gè)重點(diǎn)班進(jìn)行了問卷測(cè)試，四個(gè)班共計(jì)173人，其中男生85人，女生88人，問卷在課堂上當(dāng)場(chǎng)完成，并全部有效收回。

三、調(diào)查結(jié)果

對(duì)測(cè)試結(jié)果按性別，分層進(jìn)行了描述性的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，表中數(shù)據(jù)表示相應(yīng)的人數(shù)，“其他”是指有別于這兩個(gè)答案的各種答案，如下表所示：

從表中可以發(fā)現(xiàn)改成填空題后，答案為6的學(xué)生更多了。共有82名學(xué)生的答案為24，占了約47.4%，60名學(xué)生的答案為6，占了約34.7%，31名學(xué)生的答案為“其他”，占了約17.9%.這一測(cè)試結(jié)果與在高三聽課過程中呈現(xiàn)出來的問題是一致的。

四、分析與討論

這是一道計(jì)數(shù)題，高二、高三學(xué)生做的結(jié)果也完全類似，且還引起了教師的爭(zhēng)議，那么該如何分析這道題呢？筆者以為可以從下面幾個(gè)方面來分析討論。

1. 從一道由該題引申的古典概型題說起

（1）從古典概型的定義上分析

人教版《數(shù)學(xué)3》中對(duì)古典概型定義的描述是具有兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型：（1）試驗(yàn)中基本事件的有限性。（2）基本事件發(fā)生的等可能性。因此古典概型首先要弄清楚樣本空間，它必須要滿足以上兩個(gè)特點(diǎn)。這道引申題第一個(gè)特點(diǎn)顯然滿足，問題就出在第二個(gè)特點(diǎn)上，解2以為樣本空間只有9種基本事件，但這9種是等可能嗎？我們標(biāo)記A1A2，B1B2，C1C2表示3雙不分左右腳的襪子AA、BB、CC，用（x，y）表示左腳穿x，右腳穿y襪子，比如（A，B）來自于AA、BB兩雙襪子，可造成（A，B）的卻有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）4種等可能結(jié)果，兩只不分左右腳的襪子AA套在腳上造成（A1，A2），（A2，A1）有2種等可能結(jié)果，造成（B，B）和（C，C）的也有2種等可能結(jié)果.故我們看到的結(jié)果（A，A），（A，B），（A，C），（B，B），（B，A），（B，C），（C，C），（C，A），（C，B）不等可能，（A，A），（B，B），（C，C）只有2種可能，而（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）卻有4種可能，故解2是錯(cuò)誤的。

（2）錯(cuò)誤原因分析

導(dǎo)致錯(cuò)解的表面原因是對(duì)樣本空間的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，但產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的深層原因是混淆了兩只相同襪子有選擇和無選擇的區(qū)別，比如（A，B）中的A和B是有選擇的，來自于A1A2，B1B2，兩雙襪子，可造成（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）4種等可能結(jié)果。再深究將有選擇視作無選擇的本質(zhì)原因是沒有理解透古典概型的定義，尤其是古典概型的第二個(gè)特點(diǎn)。

2. 回歸原題

我們標(biāo)記A1A2，B1B2，C1C2表示3雙不分左右腳的襪子AA、BB、CC，用（x，y）表示左腳穿x，右腳穿y襪子。由以上分析，造成（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）的各有4種等可能結(jié)果，從而小明穿的不是同一雙襪子的可能性有6×4=24種，即教師給出的參考答案已經(jīng)是對(duì)的了。

五、教學(xué)啟示

1. 充分利用好教材，而不是簡(jiǎn)單的教教材

（2）日常教學(xué)中的一些思考

第一，很多數(shù)學(xué)問題應(yīng)該在定義，公理、定理的基礎(chǔ)上思考研究，而不是盲目的用經(jīng)驗(yàn)主義處理，作為一名數(shù)學(xué)教師，也應(yīng)該要有數(shù)學(xué)家的基本思維方式。第二，教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生提出的問題，我們應(yīng)該從書本上的定義、定理，基本概念出發(fā)，給學(xué)生解釋清楚來龍去脈，讓他心服口服，不僅僅能解決他的疑問，更是另一種形式的數(shù)學(xué)教育，甚至說，這才是作為數(shù)學(xué)教師真正應(yīng)該教會(huì)學(xué)生的東西。第三，作為數(shù)學(xué)教師，在一些數(shù)學(xué)問題上存在不一樣的見解和看法，合情合理，但是理性的討論也是應(yīng)該的，筆者希望這樣的討論在我們平時(shí)的教學(xué)中再多一些。

（作者單位：浙江省磐安縣磐安中學(xué) 322304）