例談初中幾何證明中“輔助線的自然生成”

秦曉

[摘? 要] 問題情境的創(chuàng)設(shè)對學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展非常重要. 文章以“全等三角形判定定理的應(yīng)用”為例，探討了核心素養(yǎng)理論指導(dǎo)下問題情境的創(chuàng)設(shè)策略，并總結(jié)了相關(guān)注意點.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);問題情境;創(chuàng)設(shè)策略

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)特征的、匹配學(xué)生終身發(fā)展需要的基本知識和相關(guān)能力，新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)指出，初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該將學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展貫穿整個課堂. 初中數(shù)學(xué)教師在組織教學(xué)時，要關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、科學(xué)精神、實踐創(chuàng)新等方面素養(yǎng)的發(fā)展和提升. 上述內(nèi)容既相互獨立，又彼此融合，是一個完整的整體. 在教學(xué)過程中，教師要統(tǒng)籌規(guī)劃，將相關(guān)元素整合到課堂教學(xué)中，優(yōu)化情境創(chuàng)設(shè)，讓數(shù)學(xué)課堂真正成為學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的平臺.

境創(chuàng)設(shè)策略

從核心素養(yǎng)理論出發(fā)，教師要注意多角度地展開問題情境的創(chuàng)設(shè)，適應(yīng)學(xué)生各方面的發(fā)展需要. 下面筆者結(jié)合教學(xué)實踐，談一談問題情境的創(chuàng)設(shè)策略.

1. 單刀直入地創(chuàng)設(shè)問題情境

創(chuàng)設(shè)問題情境的目的很多，其中包括提醒學(xué)生注意，引導(dǎo)學(xué)生開啟思維，并在問題的分析過程中回顧已學(xué)知識，鞏固相關(guān)認識. 這樣的問題情境一般發(fā)生在課堂導(dǎo)入階段，或課堂總結(jié)階段. 在導(dǎo)入階段，學(xué)生的神經(jīng)依然比較松弛，此時通過單刀直入的提問，可以讓學(xué)生緊張起來，由此更快地適應(yīng)課堂節(jié)奏. 而且某些直截了當(dāng)?shù)膯栴}，可以幫助學(xué)生對已有認識進行回顧，這也將成為學(xué)生建構(gòu)新認識的基礎(chǔ). 在課堂即將結(jié)束的階段，學(xué)生已經(jīng)相對疲勞，這時他們的思維也容易被分散，教師此時呈現(xiàn)更加直白的問題，便可以減輕學(xué)生的負擔(dān)，讓學(xué)生的思維更有針對性. 同時，這一階段主要是幫助學(xué)生回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)，有著總結(jié)的意義，相對直接的問題，能夠幫助學(xué)生有效地梳理新學(xué)概念，促進知識的整體性建構(gòu)[1].

比如，引導(dǎo)學(xué)生通過應(yīng)用來對全等三角形的判定定理實現(xiàn)更進一步的理解和認識之前，教師直接提出問題：“請闡述你所知道的全等三角形的判定定理. ”這個問題將引導(dǎo)學(xué)生對基本概念展開回顧和復(fù)習(xí). 在某一個例題講解結(jié)束時，教師可以提出問題：“上述問題采用了哪一條判定定理？”“這個問題跟前一個問題有什么差別？”在課堂即將結(jié)束之際，教師提出問題：“本節(jié)課我們進一步熟悉了全等三角形判定定理的使用，請你們總結(jié)一下相關(guān)定理的使用有什么注意點.”

通過上述教學(xué)案例，我們發(fā)現(xiàn)樸實而直接的問題情境在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的過程中，依然有其存在的價值. 我們不能為了營造表面化的課堂精彩，而故意讓問題情境變得過分花哨，喧賓奪主的問題情境往往會讓學(xué)生分散精力，起不到應(yīng)有的效果.

2. 結(jié)合生活來創(chuàng)設(shè)問題情境

數(shù)學(xué)的問題情境不能僅僅只是簡單的模型呈現(xiàn)和問題設(shè)計. 比如直接給出某個幾何圖形邊或角上的特點，讓學(xué)生證明其中幾個三角形全等時，這樣的問題的確可以幫助學(xué)生完成對全等三角形判定定理的認識和理解，但如果全部都是這樣的問題，學(xué)生的思維將被徹底禁錮，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將演變成枯燥的符號和生澀的概念. 為此，筆者認為，在教學(xué)過程中，教師要善于聯(lián)系生活實際來創(chuàng)設(shè)問題情境，讓鮮活的問題場景激起學(xué)生的思維活力，學(xué)生也會因為這些本就發(fā)生在自己身邊的問題而變得興趣高漲.

比如，指導(dǎo)學(xué)生熟悉“ASA”定理的應(yīng)用時，教師可以結(jié)合生活實踐提出問題：“我今天上午在家打掃衛(wèi)生時，無意間將一塊三角形的玻璃飾品打碎成如圖1所示的兩塊. 我準(zhǔn)備到街上按照原樣購買一塊. 考慮到攜帶玻璃碎片不太方便，你能幫我想想辦法，是否可以只拿一塊碎片上街？如果可以，應(yīng)該選擇哪一塊呢？”這個問題雖然不是直接考查全等三角形的“ASA”判定定理，但問題的解決必須用到該原理，這就是一個典型的生活化數(shù)學(xué)問題情境. 學(xué)生分析問題時，必然會開啟建模思維，從中提煉出有關(guān)全等三角形證明的問題. 這樣的處理必然會提升學(xué)生對全等三角形相關(guān)原理的認識.

問題情境如此創(chuàng)設(shè)，會讓原本枯燥乏味的數(shù)學(xué)研究變得更加生動，學(xué)生的探索興趣也會變得很高. 而且，學(xué)生也會在這樣的問題分析中感受到數(shù)學(xué)研究的價值，他們將課堂所學(xué)應(yīng)用于生活的意識也會由此增強.

3. 結(jié)合科學(xué)探究來創(chuàng)設(shè)問題情境

發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)時，我們很強調(diào)讓學(xué)生通過科學(xué)探究來建立數(shù)學(xué)知識，提升他們對數(shù)學(xué)規(guī)律的理解[2]. 創(chuàng)設(shè)問題情境時，我們也要將科學(xué)探究融入其中，讓學(xué)生在問題解決的過程中也能經(jīng)歷相關(guān)的探究過程，提升他們的探究意識，訓(xùn)練他們的科學(xué)思維.

指導(dǎo)學(xué)生對全等三角形的判定定理進行應(yīng)用時，我們可以創(chuàng)設(shè)以下探究性的問題情境：現(xiàn)有Rt△ABC，已知∠ACB=90°，AC=BC，D為斜邊AB的中點，點E，F(xiàn)分別在射線CA，BC上，且AE=CF，連接EF.

（1）猜想：如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)兩點分別在直角邊CA和BC上時，線段DE與DF的大小關(guān)系為______;

（2）探究：如圖3，如果E，F(xiàn)分別落在線段CA的延長線和線段BC的延長線上時，請判斷線段DE與DF的大小關(guān)系，并嘗試證明;

（3）應(yīng)用：如圖3，如果DE=4，請結(jié)合探究（2）所得的結(jié)論，確定△DEF的面積.

上述問題的分析涉及科學(xué)探究過程中的提出猜想、邏輯推理、嚴(yán)謹證明等基本要素，這些內(nèi)容也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn). 學(xué)生處理問題（1）時，可以連接CD，在此基礎(chǔ)上進行科學(xué)猜想，并結(jié)合△ADE與△CDF全等的證明來證實猜想. 處理問題（2）時，也可以連接CD，在此基礎(chǔ)上推理并證明△ADE與△CDF的全等關(guān)系，進而得出DE=DF. 對于問題（3），學(xué)生依然可以從全等出發(fā)，確定∠EDF為直角，則面積的求解方法可以很快被探究出來.

養(yǎng)的注意點

教師利用問題情境來組織教學(xué)時，目的不僅僅是讓學(xué)生給出一個明確的答案，還要幫助學(xué)生提升對知識的理解，發(fā)展其問題解決能力，提升其核心素養(yǎng). 具體操作時，教師還要注意以下幾點.

1. 問題情境創(chuàng)設(shè)要具有開放性

眾所周知，封閉性的問題只需要學(xué)生按部就班地使用相關(guān)理論就可以實現(xiàn)問題的解決，此類問題情境的確能夠在一定程度上讓學(xué)生提升對知識的認識和理解，但是對學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展來說卻非常有限. 筆者認為，我們的問題情境需要具備一定的開放性，由此才能讓學(xué)生得到更加靈活的訓(xùn)練.

2. 問題情境創(chuàng)設(shè)要具有層次性

我們在創(chuàng)設(shè)問題情境時，一定要面向全體學(xué)生，但是“眾口難調(diào)”是一個很現(xiàn)實的問題. 為此，教師在設(shè)計問題情境時務(wù)必要兼顧到層次性，即我們的教學(xué)應(yīng)該是在課程標(biāo)準(zhǔn)的總體要求下，細致分析不同層次學(xué)生的實際需要，精心設(shè)計問題. 比如采用梯度性的問題設(shè)計，讓每一個學(xué)生都能在問題情境的分析過程中得到訓(xùn)練和發(fā)展，真正展現(xiàn)出“深者得之深，淺者得之淺”的教學(xué)藝術(shù).

3. 問題情境創(chuàng)設(shè)要具有創(chuàng)新性

科學(xué)創(chuàng)新是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，教師在進行問題情境的設(shè)計時，應(yīng)結(jié)合問題進行設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生全方位、多角度地展開探索和研究，由此激活學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識，讓學(xué)生以更加靈動的目光來審視和研究問題. 這樣的課堂教學(xué)將更加具有生命力，學(xué)生的能力也將由此得到更加充分的發(fā)展.

好的問題情境，需要數(shù)學(xué)教師在研究課標(biāo)、學(xué)生和教材的基礎(chǔ)上，根據(jù)實際情況做出相應(yīng)的設(shè)計，進而在教學(xué)中有效撩動學(xué)生的神經(jīng)，讓學(xué)生能以更加飽滿的熱情參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，有效地培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]郭允遠. 關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)問題情境——引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的教學(xué)體會點滴[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001（10）：7-9.

[2]張齊華. 以“問題解決”促數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展[J]. 教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2016（11）：5-9.