淺談高考命題中如何滲透數學文化

☉江蘇省華羅庚中學 席國金

一、問題提出

教育部考試中心函件《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》要求“增加中華優秀傳統文化的考核內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用.比如，在數學中增加數學文化的內容”.

那么，怎樣將數學文化與數學知識相結合，歷年高考卷又是如何考查呢？各地模擬卷又是如何考查呢？本文選取典型樣題加以深度解讀.

二、2018年高考數學文化考題統計

卷別 題型 題號 考查角度2018年全國卷Ⅰ 選擇題 10題 幾何概型2018年全國卷Ⅱ 選擇題 8題 古典概型2018年全國卷Ⅲ 選擇題 3題 三視圖2018年北京高考 選擇題 4題 等比數列

三、考向實例剖析

1.數列中的數學文化

例1（2019·麗水模擬）中國古代數學名著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗.羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？

以上問題的翻譯如下：現有牛、馬、羊吃了別人家的禾苗，禾苗的主人要求牛、馬、羊的主人共賠償5斗粟.其中，羊的主人說：“我的羊所吃的禾苗數量是馬的一半.”馬的主人說：“我的馬所吃的禾苗數量是牛的一半.”若按此條件賠償5斗粟，則這三個牛、馬、羊的主人各應賠償多少斗粟？

若牛、馬、羊的主人各應償還粟a升，b升，c升，其中1斗為10升，則下列判斷正確的是（ ）.

解析：由題意可得，a，b，c成公比為的等比數列，三者之和為50升，故4c+2c+c=50，解得c=故選D.

點評：本題以《九章算術》為背景展現了我國優秀的傳統文化，意在考查考生的閱讀理解能力和解決實際問題的能力.

2.三角函數中的數學文化

例2 在古希臘數學家海倫的著作《測地術》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三邊長求三角形的面積.若三角形的三邊長分別為a，b，c，則其面積S=.已知在△ABC中，BC=6，AB=2AC，則當△ABC的面積最大時，sinA=______.

點評：本題具有一定的綜合性，考查的知識點較多，涉及基本不等式、余弦定理及同角三角函數的基本關系.求解本題的關鍵是在“設元”的基礎上，根據所給的三角形的面積計算公式寫出△ABC的面積表達式，并利用基本不等式來確定最值.

3.算法中的數學文化

例3（2018·貴陽監測）我國明朝數學家程大位著的《算法統宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”如圖1所示的程序框圖反映了對此題的一個求解算法，則輸出的n的值為（ ）.

A.20 B.25

C.30 D.35

圖1

解析：執行程序框圖，n=20，m=80，21，m=79，S=63+≠100；n=22，m=7892≠100；n=23，m=77，S=69+7100；n=24，m=76，S=72+100；n=25，m=75，S=，退出循環.所以輸出的n=25.故選B.

點評：《算法統宗》是我國古代的一部數學巨著，本題通過“僧人分饅頭”體現了方程的思想，也折射出古代人民的智慧，增強了我們的民族自豪感.

4.立體幾何中的數學文化

例4 公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的開立圓術，祖暅在求球體積時使用了一個原理（現在稱祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異.”其中“冪”是指幾何體的截面積，“勢”是指幾何體的高，原理的意思是：“若兩個同高的幾何體，在等高處的截面積恒相等，則體積相等.”更詳細的說法就是：介于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.已知某不規則的空間幾何體與如圖2所示的三視圖所對應的空間幾何體滿足“冪勢同”的條件，則該不規則的空間幾何體的體積為（ ）.

圖2

解析：根據條件，某不規則的空間幾何體與已知三視圖所對應的空間幾何體滿足“冪勢同”的條件，則由祖暅原理可知，該不規則的空間幾何體的體積與已知三視圖的空間幾何體的體積相等.

根據題中所給的三視圖，可知該空間幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱后所剩下的部分，而正方體的體積為23=8，半圓柱的體積為因此該不規則的空間幾何體的體積為8-π，故選A.

點評：本題通過三視圖來考查空間幾何體的體積.由已知條件可知該不規則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體的體積相等，通過等積法的轉化來解答相關的數學文化問題，這也體現出高考對考生的社會實踐能力不斷提高要求的趨勢.

5.概率中的數學文化

例5 如圖3所示的是教室中某種網絡電子計時器時間的顯示方式，其中所顯示的每一個相應的數字都在固定且全等的矩形區域中，同時每個相應的數字都由若干塊全等的黑色區域“橫或縱排列組成.已知在一個顯示對應數字“8”的矩形區域中隨機取一點A，若點A落在黑色區域內的概率為，那么在一個顯示數字“0”的矩形區域中隨機取一點B，則點B落在黑色區域內的概率為（ ）.

圖3

解析：由于數字“8”是由7個黑色區域組成，由P（A）可得整個矩形區域的面積為14個黑色區域的面積.而數字“0”是由6個黑色區域組成，則故選C.

點評：從平常生活中“電子計時器顯示時間的方式”中選取素材考查數學問題，豐富了數學文化題的取材途徑.試題的背景與試題的插圖都是本題的創新亮點，這樣處理，有利于考生直觀且有效地分析問題和解決問題，這對穩定考生在考試中的情緒和心態起到了較好的效果.同時，有效地增強了數學問題的現實生活化，使數學的實際應用更加貼近考生的認知規律與生活實際.