大道至簡 悟在天成
——數學教學的堅守與創新

☉江蘇省南通中學 季 錚

隨著高中數學新課標的實施，新一輪的教育教學改革又如火如荼地在各地展開.“學導式”、“翻轉課堂”等課堂教學模式大行其道，高中數學的課堂教學頗有百花齊放的味道.每每遇到一些公開課、比賽課，任課教師無不使盡渾身解數，力求課堂教學方式的創新以吸引眼球.而筆者認為，數學課堂教學的目標：學生數學核心素養的提升，無非就是讓學生親身經歷知識的發生、發展過程，在上述過程中提升發現問題、分析問題和解決問題的能力而已.

然而就這樣一個看似簡單的目標，很多時候卻無法在課堂教學中得以實現.就比如等差、等比數列的求和，甚至在一些小學課堂上，老師就已經開始教授學生“倒序相加法”和“錯位相減法”，然而這些方法的習得，只是老師簡單的講授與告知，絲毫沒有學生自主的思考與感悟，學習這些方法、技巧的目的就是為多解幾道題而已.在這樣的教學模式下，一些學生的確會在一些考試甚至競賽中表現出超出同齡學生的優勢，然而這樣的教育會培養出類似高斯的大數學家嗎？然而恰恰是這樣的教學方式扼殺了多少小高斯.

因此，數學課堂教學的實質就是再現數學家發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的情景，讓學生親身經歷上述過程，在過程中掌握知識、發展能力、提升素養.教學方式方法的選擇、現代教育技術手段的運用都應服從于這一目標.接下來，筆者就結合幾個教學案例來說明筆者的一些實踐與思考.

案例一：函數的單調性

蘇教版函數的簡單性質一節，函數的單調性是由氣溫變化圖引出的，通過指出氣溫在哪些時段逐漸升高或下降，旨在通過生活實例感受單調性的意義，并在此基礎上提出問題：如何用數學語言刻畫上述時段內，隨著時間的增加氣溫逐漸升高的這一特征？上述情境的設置很好地體現了數學源于對現實世界的抽象，可是數學的味道似乎少了一些.

在上節課學習了函數的表示方法的基礎上，筆者在本節課首先要求學生畫出函數f（x）=|x2-4|的圖像（如圖1），在此基礎上，請學生結合圖像指出y隨著x的變化而發生了怎樣的變化，從而引導學生從圖像的變化趨勢出發，用自然語言定性地描述y隨著x的變化而變化的過程.在圖形語言及文字語言描述上述變化過程的基礎上提出問題.

圖1

圖2

師：如何從數的角度驗證函數f（x）=|x2-4|在區間（2，+∞）上y隨著x的增大而增大？

生1：可以在（2，+∞）的區間內取兩個數，例如f（3），f（4），通過比較兩者的大小來說明.

分析：學生的這個想法源于特殊化的認識，如果明確了函數在該區間上是恒單調的，這個方法對于判斷函數在該區間上是單調遞增亦或是單調遞減是有效的，而且還非常方便.但是，如果函數在該區間上不是恒單調的，則會存在問題.作為老師，不應急于評價，應把該生的想法拋給其他同學進行討論辨析.事實上，學生在討論以后，給出了意見并畫出了反例.

生2：圖2是就是一個反例，所以僅由f（3）＜f（4），不一定能說明在（2，+∞）上y隨著x的增大而增大.

分析：學生有針對性地畫出反例來駁斥上述錯誤觀點是本節課的亮點，說明學生對函數單調性的理解形成了一定的認識.

師：既然兩個點不能說明，那么三個點、四個點可以嗎？

生3：必須驗證該區間上的無數個點，這就有些麻煩.

生4：無數個點也不可以，因為在剛才所畫的函數圖像上，雖然也有無數個點滿足當x1＜x2＜…＜xn時，f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn），但是仍然不能得到在（2，+∞）上y隨著x的增大而增大.

師：那么必須滿足什么條件才能說明f（x）在（2，+∞）上y隨著x的增大而增大.

生5：必須要f（x）圖像上的所有點都滿足當x1＜x2＜…＜xn時，f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn），才能說明f（x）在（2，+∞）上y隨著x的增大而增大.

分析：學生的思考又上升了一個臺階，從函數圖像上取兩個特殊點到從函數圖像上取無數個點，看似實現了從有限到無限的轉變，但沒有觸及函數單調性定義的本質.這時，學生結合前面所畫的反例在此基礎上提出驗證圖像上的所有點，這就說明學生已經深刻理解了“無數”與“所有”的區別.

師：那怎么說明f（x）圖像上的所有點都滿足上述要求呢？

生6：所有點都滿足即區間（2，+∞）內的任意兩點都滿足，因此可以在（2，+∞）內任取兩點x1，x2，說明當x1＜x2時，均有f（x1）＜f（x2）.

分析：定義的探求最后還是回到了兩個點的比較上，但從兩個特殊點到任意兩點的螺旋上升的探求過程是學生深刻理解定義的不可多得的重要經歷和體驗.

至此，函數單調性的定義就呼之欲出了，回顧學生的探究過程，經歷了從特殊到一般的過程，同時舉反例、交流討論等學習方式也加深了學生對概念本質的理解，以及“所有”與“無數”的區別.

案例二：圓錐曲線的統一定義

蘇教版圓錐曲線的統一定義一節，教材則指出“平面內到一個定點F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于1的動點P的軌跡是拋物線”，然后提出問題“當這個比值是一個不等于1的常數時，動點P的軌跡又是什么曲線呢？”對比上一節拋物線的定義：“拋物線是平面內到一個定點F和一條定直線l（F不在l上）距離相等的點的軌跡，點F叫做焦點，l叫做準線”.教材則直接將“距離相等”改為“距離的比等于1”，從而得到圓錐曲線統一定義的雛形.這種處理弱化了學生探究圓錐曲線共性特征的思維過程.

教學過程中，筆者首先請同學們回顧了三種圓錐曲線都是由平面截圓錐面形成的，因此，這三種圓錐曲線應該具有一定的共性，從而為本節課的學習提供了依據.接下來，再請學生回顧這三種圓錐曲線的定義，對比定義，明確兩種研究方向，方案一：將橢圓和雙曲線的定義朝著拋物線定義的方向轉化；方案二：將拋物線的定義朝著橢圓和雙曲線的定義方向轉化.學生注意到拋物線只有一個焦點，無法將定義寫成類似橢圓或雙曲線的形式，從而明確了轉化的方向.

師：拋物線是平面內到一個定點F和一條定直線l（F不在l上）距離相等的點的軌跡.那么橢圓、雙曲線可能是滿足什么條件的點的軌跡呢？

生1：橢圓和雙曲線是平面內到一個定點F和一條定直線l距離不相等的點的軌跡.

生2：距離不相等太籠統，PF≠d包含了PF＜d、PF＞d這兩種情形，而這兩種情形可能剛好對應了橢圓和雙曲線兩種圓錐曲線.

分析：從拋物線的定義出發，學生首先形成上述認識是非常自然的.

師：如何刻畫PF＜d、PF＞d這兩種不等關系？

生3：可以作差比較，即PF-d＜0、PF-d＞0，也可以作商比較，即0

生4：因為橢圓和雙曲線方程刻畫的是等量關系，因此應該把PF-d＜0這樣的不等關系轉化成等量關系，所以可以令PF-d是小于零的定值，比如：PF-d=-a（a＞0），則PF=d-a. 設P（x，y）、F（c，0），直線l：x=m，則|x-m|-a，兩邊平方得y2=（2c-2m）x-2a|x-m|+a2+m2-c2，從方程的結構看該曲線如果存在，一定不是橢圓或雙曲線.

分析：通過作差和作商的方式來刻畫這兩種不等關系源于學生已有的學習經驗，但考慮到曲線方程刻畫的是等量關系，所以有必要將上述不等關系轉化成等量關系，但具體是用作差還是作商來刻畫，對于學生而言沒有明確的指向，通過實驗探究、合情推理的方式來進行探索，這樣的過程妙不可言.

通過對上述案例的分析，筆者認為課堂教學方式應該隨著教育技術、教育理念的發展進行創新，充分發揮互聯網的功能，提供給學生多渠道獲取知識的途徑，幫助學生多角度的認知、建構知識體系.但是，課堂教學不應只為了創新而創新，華而不實的課堂無益于學生的發展及思維品質的提升，反而會對學生知識、方法的習得產生一定的干擾.應給予學生充分思考、探究的空間與時間，讓學生親身經歷知識的發生、發展過程，并在此過程中形成分析問題、解決問題的能力，才是我們的課堂教學應該堅守的底線.