“學習三角”理論對習題教學的啟示*
——以一道模擬測試題的教學活動為例

☉江蘇省儀征中學 張瑞祥

習題是數學知識的載體，蘊含著巨大的教育潛能.教師通過組織習題課教學，可以及時了解并分析學生的學情，且在原有知識的基礎上“再創造”，因此習題課在高中數學教學中占有重要的地位.然而，出于某些功利性目的的需求，不少教師為了提高傳授內容的效率，習題教學就是向學生講解一道又一道的題目，介紹一種又一種的解題方法.這種習題教學不關心所講的內容是否對學生的發展有益？不關心學生的思維是否會主動參與？更不關心是否有互動的發生？這種教學很難培養和發展學生的數學思維，使學生成為一個會思考且善于思考的人，更不要說培養其創新能力了.

一、題目呈現及測后調研

題目：如圖1，半徑為2的扇形的圓心角為120°，M，N分別為線段OP，OQ的中點上任意一點，則的取值范圍為______.

圖1

這是我校高三年級一輪復習時一次月考試題中的第13題，通過對我校高三年級答題情況的調查發現正確率只有24.5%.面對這種情況，該如何處理這道習題是必須要考慮的.不少教師認為這道題主要是考查向量的運算，利用基底法或坐標法來求解，綜合性較強.既然學生的得分率較低，大多數學生都覺得比較困難，則可以直接將兩種解法介紹給學生，學生記住就可以了.

鑒于此，筆者從學習的三個維度設計了本習題的教學活動，合作交流掃除思維障礙→基于經驗提煉通解通法→是否有新的發現（反思觀察）→應用（主動試驗）→獲得新的具體經驗.

二、教學實錄

師（展示題目）：這是月考試題中的第13題，雖然正確率只有24.5%，但是同學們還是有不少想法的，只是遇到了一些障礙.這節課我們就來探討這個問題，同學們可以暢所欲言.

圖2

生3：它們的夾角卻不知道.

師：你要求什么？

生4（不等老師說完）：可以用整體法來做！（在我的課堂上，學生發言是自由的）

師：好！我們來聽聽！

（剛說完，引來了同學們的掌聲）

圖3

三、“學習三角”理論對習題教學的啟示

1.精選能夠激發學生思維參與的學習內容

在習題教學的課堂中，不少教師不關心學生的思維障礙在哪里？為何出錯？往往是直接告訴學生正確的答案和解題過程，以節約時間，講更多的習題.習題課應讓學生學習什么？教師首先要弄清習題講評課的目的？為了誰的利益？因此，習題教學內容的選擇不僅要關注所選習題涉及的知識、技能及數學思想方法，還要分析學生的認知基礎和知識之間的前后聯系，關注學生的思維障礙在哪里？有何需求？教學過程中應基于學生的需求，設計挑戰性的問題（學習內容）來引發學生深層次的思維參與，吸引學生投入智慧的眼光去解決對自身有意義的問題，從而促使深度學習的發生.

2.利用元認知提問驅動學生學習的動機

Knud Illeris教授在研究中認為，學習中的結果與內容同等重要，都是動機維度中的重要構成要素，情緒、意志與動機都是其中的重要內容，只因其以不同的方式進行呈現與表達，在參與學習的認知中都具備同等重要的地位，尤其表現在其結果與內容之中.“認知不協調”是主要的問題來源，也是時常被呈現的主題之一，它主要是指人在進行思維與實踐過程中所表達出的行為與思想的一致性或沖突性.“認知不協調”問題又常被本身的問題所驅動，因而再次出現認知范疇內的沖突，從而激發和觸動學生探討與學習的內在動機，使學生處于獨立思考的位置，并在此基礎上開展相應的合作與交流，并從學習“思維障礙”的層面進行問題的主動解決，讓學生全面理解“解決向量數量積的范圍問題的一般方法”，以及“幾何法、基本不等式法、函數法、方程法”等思考策略，并發現不同解決方法之間的異同，使學生能夠認識教師在真誠地與之進行想法的交流與探討，從而增加學生的融入興趣及幸福感，并進一步增進學生學習動機的發揮及其持續性.

3.要創設利于學生與環境互動的學習氛圍

Knud Illeris教授認為所有學習都是有情境性的，即它要在某個具有社會與人際交往特性的情境中發生，通過與學習者的互動，成為學習中不可或缺的一部分.美國數學家G·波利亞認為，教師最重要的任務之一是幫助他的學生，最好是順其自然地幫助學生.教師應當把自己放在學生的位置上，應當努力去理解學生心里正在想什么，然后提出一個問題或是指出一個步驟.通過提出具有指向性的問題適當地幫助學生，滿足學生的心理需要，提升學生參與課程活動的動機水平.事實上，正是教師對學生的理解與尊重及順其自然的幫助，創設了利于學生與環境互動的學習氛圍，促使了學生的主體性卷入、思維的積極參與、學習的真正發生.