一道平面向量數量積的探究

☉江西師范大學附屬中學 胡祝齊

平面向量的數量積的定值或最值問題是平面向量問題中的重點與難點之一，也是新課標大綱在“知識點交匯處”命題的充分體現的一大陣地.此類問題往往設置巧妙，形式活潑多樣，條件中知識交匯點眾多，題目難度往往比較大，同時解決問題的思維方式多變，破解方法也多種多樣，一直是歷年高考、競賽命題中的基本考點和熱點之一.

一、問題呈現

【問題】如圖1所示，在△PAB中，PA=2，PB=1，在△PAB所在的平面內，以AB為邊向三角形外作正方形ABCD，則的取值范圍是______.

本題以平面幾何為問題背景，借助三角形中的條件以及正方形的構造，進而求解相應的平面向量的數量積的取值范圍問題.充分交匯平面幾何、平面向量、解三角形、解析幾何、三角函數等相關知識，是一道極具特色的問題.

圖1

二、多解思維

設出正方形ABCD的邊長a，以及∠APB=θ（θ∈（0，π）），通過解三角形中的正弦定理與余弦定理來轉化，進而建立相應的關系式，借助平面向量的線性關系來轉化對應的平面向量的數量積，再轉化為關于θ的三角關系式，通過三角函數的圖像與性質來確定相應的最值即可.

解法1：設正方形ABCD的邊長為a，設∠APB=θ（θ∈（0，π））.

由余弦定理可得a2=4+1-2×2×1×cosθ=5-4cosθ.

以A為坐標原點，AP所在的直線為x軸建立平面直角坐標系xAy，把對應的平面向量利用坐標加以表示，從而相應的數量積也可用坐標表示出來，再通過三角換元，借助三角函數的圖像與性質來確定最值；或通過點與圓的位置關系，借助數形結合來確定最值.

解法2：如圖2所示，以A為坐標原點，AP所在的直線為x軸建立平面直角坐標系xAy，則A（0，0），P（-2，0），設B（x，y），則D（y，-x）.

根據正方形ABCD中的對角線AC與BD的中點重合的性質，可得C（x+y，-x+y）.

由于PB=1，則有（x+2）2+y2=1（y＞0）.

圖2

點B滿足半圓：（x+2）2+y2=1（y＞0）.

結合圖形可知BQ2的最大值為（PQ+r）2=，BQ2的最小值為QM2=22=4（此時點M（-1，0），而y＞0，則最小值取不到）.

所以BQ2-1∈（的取值范圍是

三、變式探究

探究1：保留原問題的條件，改變原來構造正方形為構造等腰直角三角形，同時把求解平面向量的數量積問題轉化為求解線段的長度問題，得以變式創新.

【變式1】如圖3所示，在△PAB 中 ，PA=2，PB=1，在△PAB所在的平面內，以A為直角頂點向三角形外作等腰直角△ABD，則PD的取值范圍是______.

圖3

解析：本題的破解方法比較多，借助以上問題的破解方法來處理如下：

如圖4所示，以A為坐標原點，AP所在的直線為x軸建立平面直角坐標系xAy，則A（0，0），P（-2，0），設B（x，y），則D（y，-x）.

由于PB=1，則有（x+2）2+y2=1（y＞0）.

那么PD2=（y+2）2+x2=BQ2，其中定點Q（0，-2）.

圖4

而點B滿足半圓：（x+2）2+y2=1（y＞0）.

結合圖形可知BQ2的最大值為（PQ+r）2=，BQ2的最小值為QM2=12+22=5（此時點M（-1，0），而y＞0，則最小值取不到）.

所以BQ2即PD的取值范圍是

探究2：保留原問題的條件，改變原來構造正方形為構造等腰直角三角形，同時引入線段的中線，同樣求解平面向量的數量積的取值范圍問題，得以變式創新.

【變式2】如圖5所示，在△PAB中，PA=2，PB=1，C為線段AB的中點，在△PAB所在的平面內，以A為直角頂點向三角形外作等腰直角△ABD，則的取值范圍是______.

圖5

解析：如圖6所示，以A為坐標原點，AP所在的直線為x軸建立平面直角坐標系xAy，則A（0，0），P（-2，0），設B（x，y），則

圖6

由于PB=1，則有（x+2）2+y2=1（y＞0）.

設z=x+2y，作出直線x+2y=0.

由數形結合可知，當直線z=x+2y滿足與點B所在的半圓：（x+2）2+y2=1（y＞0）相切時負值舍去）；

當直線z=x+2y過點M（-3，0）時，z取得最小值-3+2×0=-3，而y＞0，則最小值取不到.

四、規律總結

涉及平面幾何與平面向量的交匯與綜合問題，可以借助解三角形法來處理，也可以利用坐標法，通過建立平面直角坐標系，借助解析幾何來分析與處理.特別是用坐標法來處理平面向量問題時，巧妙地把幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算及解析幾何本身所具有的特點來處理，從而加強對相關內容的有效綜合與合理轉化，進而加以正確地理解與掌握相關的知識與破解的方法，這樣有助于數學解題能力與應用能力的提高，真正提升數學能力，拓展數學素養.