創立和剖析數學重心
——思維中斷點

☉浙江省溫嶺中學 陳 艷

突出數學的本質，加強數學內容重心的講解是我們教師的職責所在.章建躍曾說：數學教育要著重于“三個理解”，即理解數學、理解學生、理解教育.對數學概念的理解是對數學理解的基礎；對數學任務的理解是對學生理解的前提；對數學及學生的理解是對教育理解的根本.創立和剖析數學的內容重心是對這“三個理解”的最好詮釋.

在數學的知識網中，那些組成數學關鍵的結合點，例如定理、公式及概念，我們需要重點把握.有些結合點之間會有中斷，這就是我們數學學習中的思維中斷點，也是我們教學中的難點，學生的易錯點，所以這些中斷點就是我們教學中的關鍵點.本文將三角函數、函數、隨機變量等數學知識的中心內容結合實踐來創立并剖析數學的重心——思維中斷點.

一、思維中斷點的創立和剖析——函數

在學習函數時，主要有這兩個中斷點：一個是函數有無解析式；一個是對f（x）的理解.初中是利用運動的觀點，從變量的角度給出函數的概念，這樣學生都只碰到類似于等這樣有具體解析式的函數.但并不是所有的函數都有對應關系，也不是所有的解析式都有兩個變量，這就是我們函數學習中的一個思維中斷點.

（1）下表是9名同學的考試成績，這是函數嗎？

高一某次檢測中某班第一小組9名學生的成績單學號 12 13 14 15 16 17 18 19 20成績 86 78 87 73 72 91 58 67 73

（2）圖1是股票的分時圖，這是函數嗎？

對于這兩道題而言，大部分高一的學生會覺得無從下手，因為這不符合他們初中所學的函數知識.因此，我們在教學過程中，要讓學生了解到并不是每一個函數都有它的解析式，也并不是每一個函數都能用圖像來表示.

圖1

學習函數時的另外一個思維中斷點是對f（x）的理解，這是因為f（x）可以是任何一個函數，而且學生也很難搞清楚何為f.其實f就是function的首字母，也就是功能，是將集合A中的x轉變成集合B中的f（x），也就是說f（x）是集合B與集合A中x相對應的那個數.從而讓學生了解到當x確定了，f（x）也就確定了.

二、思維中斷點的創立和剖析——三角函數

在初中的課程中，學生學習了銳角三角函數，而從銳角三角函數到任意角的三角函數的過程中就出現了一個中斷點，這也是我們在學習任意角的三角函數時的一個思維中斷點，同時也是教學中的重難點.所以，讓學生對銳角三角函數有一個新的認識，是我們在講授這一內容時的重中之重.

在學習任意角的三角函數時還存在一個思維中斷點，就是將終邊上的任一點放于單位圓和終邊相交的位置，這樣的點在學生眼中并不是任一點.所以，對于這樣的問題，要引導學生從相似三角形的角度來看待這個問題，讓他們理解一點：一個角的終邊的變化并不會改變這個角，而確定的角的三角函數也是唯一的.課堂上，可以通過坐標、終邊及化簡這三個方面來講解任意三角函數的思維中斷點.我們在之前的學習中已經學過了函數，我們知道函數認知的關鍵點在于它的三要素，那么對于三角函數而言也是一樣的，可具體的三角函數的三要素是什么還需要老師慢慢的引導.

三、思維中斷點的創立和剖析——直線和平面垂直的判定

在直線和平面垂直的判定的學習過程中也有這樣幾個思維中斷點：①直線和平面垂直的定義.②用個別直線來取代平面內的任意直線.在教學中，由于平面中的直線很難直觀看到，所以學生也就很難理解“直線與平面內的所有直線垂直”，更何況平面內的直線是無窮無盡的，無法通過幾條特殊直線來以偏概全.因此，課堂上可以通過圖2這種“立竿見影”的題目，讓學生加深理解.

這種題目通常會問這樣幾個問題：①圖2中AB與其地面上的影子BC形成了多少度的角？②隨著太陽的移動，AB在地面上的影子BC也會相應的改變，那么改變后的影子還與AB垂直嗎？③AB與其地面上的影子BC始終垂直，那地面上不經過B點的直線還與AB垂直嗎？

圖2

為了讓學生更好地理解這兩個思維中斷點，我們可以通過設置這樣一些問題來引導他們.

（1）直線和平面垂直可以只通過直線垂直平面內的一條直線來判定嗎？

（2）直線和平面垂直可以通過直線垂直平面內的兩條直線來判定嗎？

（3）直線和平面垂直可以通過直線垂直平面內的無數條直線來判斷嗎？

（4）直線和平面垂直至少要直線與平面內的幾條直線垂直？

（5）直線和平面垂直要滿足直線與平面內的什么直線垂直？

四、思維中斷點的創立和剖析——隨機變量

學生通過學習早已將隨機變量印在自己的腦海以及意識中，并且在遇到一些問題時能夠隨機運用，只是可能學生自己心里還沒有一個清晰的認知，沒有意識到自己已經將隨機變量運用到自己的生活中了.因此雖然學生已經在不知不覺中運用了隨機變量，但是要讓他們自己想出來，并將所有的試驗結果都數字化還是有一定難度的.這是因為要將所有的試驗結果數字化是需要學生對數學的本質有一個很好的認知，因此，學生在學習隨機變量時就出現了這樣的一個思維中斷點，將隨機變量的無意識運用轉變為有意而為之這樣的一個過程.在平時的教學過程中，應該不斷地通過一些具體的實例來促進學生對數量化意識的塑造，以及隨機變量意識的塑造.比如這樣一個簡單的試驗：拋擲一枚一元硬幣，拋擲硬幣的結果只會出現一正一反這兩種結果，可是這一正一反的結果并不具備數量的本質，那要讓學生怎么順其自然地想要通過一些方法進行下一步的研究并且用很簡便的數字來體現一正一反的結果呢？在教學中，不斷拋出以下這樣的問題來讓學生自己思考何為隨機變量，以及它的定義是什么.

第一個問題：如果我們拋擲一枚骰子，那么可能會出現哪些結果，而又有哪些數字可以用來表示這些結果呢？

第二個問題：如果我們選擇一個英文字母來體現這些數字，就像我們選擇x來代表這些數字，那么x可以取哪些數值呢？

第三個問題：英文字母x具備哪些特點，而這些特點我們又可以怎樣理解呢？

以上的三個問題都可以構造隨機變量概念上的形式.當然，要對隨機變量進行更加深刻的理解，僅僅依靠這樣幾個問題是遠遠不夠的，我們還應當結合函數的知識點，同時還要探究離散型隨機變量的分布列等.

要結合函數的知識點來加深對隨機變量的理解，這又給學生在學習隨機變量上帶來了另一個思維中斷點.這是因為，函數代表的是變量之間確定的關系，但隨機變量代表的是變量之間并沒有確定的關系，隨機變量只是用來表示隨機現象所展現的規律，并不是想通過隨機變量來預料可能會出現的結果.有一點特別重要，我們通過隨機變量了解到結果的可能性或者說是結果的規定，但這并不意味著我們就能改變結果的隨機性.想通過一節課的時間就讓學生理解到概率統計中的不確定性是不可能的，這只能在漫長的學習生活中慢慢滲透.

我們在學習中的思維中斷點不可能只存在于這幾個地方，還有可能存在于一些銜接的知識點上.在教學中，我們應該多多關注知識的思維中斷點，更好地銜接前后知識，加強學生對數學的興趣，讓他們更有動力地去學好數學.講解這些思維中斷點是為了更好地理解數學、理解學生、理解教學，而思維中斷點的講解離不開綜合把握.這也就要求我們要在教育中，更多地關注學生的綜合發展，選擇與他們認知規律一致的教學內容和活動，讓他們的身心與學問共同發展.對老師而言，在教學中多多關注思維中斷點也能夠使其在教學中更加自然流暢；對學生而言，老師多多講解他們的思維中斷點，也能加強他們理解的效率，使課堂與教材銜接得更加自然.