“一題多變性”變式在高三數學復習中的應用
——以“求圓錐曲線的離心率”為例

☉安徽省臨泉第一中學 曹 麗

復習是高中數學教學的重要組成部分，它既能夠幫助學生理清知識脈絡，優化頭腦中的知識體系，還能夠為學生提供思維平臺，發散學生的數學思維.然而，傳統的高三數學復習課中，出現了“題海戰術”“高耗低效”“教師苦，學生累”等不良現象，已經嚴重影響了學生參與復習活動的積極性與主動性，甚至出現厭倦數學，抵制復習的現象，導致復習課的價值喪失.而“一題多變性”變式是變式教學的基本策略之一，將其應用于高三數學復習課中，實現了“不變”與“變”的有機結合，促使學生多個角度理解問題，多個方面揭示問題本質，有助于加強學生對數學知識的理解，在潛移默化的過程中培養學生的數學思維.

一、“一題多變性”變式

“一題多變性”變式就是指，在教師的引導與指導下，改變數學問題的條件和結論，交換條件和結論或者增加延伸問題的條件，加深結論，其目的就是為了從多角度、多方面去揭示問題的本質.對于高三數學復習課來講，采用“一題多變性”變式教學，就是依據一個典型的數學例題，通過“變”，最大限度地覆蓋知識點，實現“以點帶線，以線帶面”的目標，這樣既有助于幫助學生理解和掌握知識，完善學生大腦中的知識結構，更能夠為學生提供一個訓練思維的平臺，促使學生的數學思維能力得到培養.高中階段的數學課程可以分為代數與幾何兩大部分，而“一題多變性”變式在幾何類問題中應用的方法大致為：條件、結論、逆向、開放性、綜合性及引申性這六種變式，而其在代數類問題中的變式方法一般就是系數、指數、底數、項數、符號、字母、形式、問法以及題型這九種變式.

二、“四個”變式的原則

將變式教學應用于高三數學復習中，便于學生理解數學知識，也能夠使學生從“變”中尋得“不變”，明確數學知識的本質特征.而要想真正發揮“一題多變性”變式教學在高三數學復習課教學中的優勢，就要遵循相應的教學規律與原則，筆者通過查閱、分析文獻資料，歸納了“一題多變性”變式要遵循的“四大”變式原則：

1.目標導向原則

高三數學復習課的特征就是內容多、綜合性強，因此為了提高復習教學的質量，就要在課前做好充分的準備，制訂明確、具體的教學目標，弄清楚哪些問題不用“變”？哪些問題需要“變”？需要“變”的問題，為何“變”？如何“變”？除此之外，作為一線教師，還應該明確課堂的時間有限，僅有45分鐘，因此不能制訂過多的目標，而是要抓住典型，深入挖掘，使學生舉一反三.若課堂內容不分主次“講”于學生，既不利于突出重點，也不利于攻克難點，進而導致復習教學的效果不甚理想.

2.難易適中原則

眾所周知，任何事情都需要把握一個“度”，特別是對于師生皆為難度較大的數學學科來講，在復習教學中，采用“一題多變性”變式教學，就要貫徹“以學生發展為本”的理念，遵循“難易適中”的原則，才能夠取得預設的復習效果.對于“一題多變性”變式教學來講，“難易適中”原則主要可以從兩個方面進行理解，具體為：一是題量適中，在復習課堂上，出現變式題的數量要適中，不宜過多，也不宜過少；二是層層遞進，把握好問題變式之間的難度與廣度.

3.主體參與原則

學生是課堂教學的主體，對于復習課來講也不例外，因此在采用“一題多變性”變式教學時，要貫徹“以生為本”的理念，認識到“變”并非是教師的“專利”，同時在“變”的過程中，教師不能僅顧自己“變”，而是要給予學生充分的時間與空間，讓學生跟上教師“變”的腳步，更要鼓勵學生積極主動地“變”，讓學生敢于質疑，大膽發言.這樣一來，既能夠建立互相尊重、平等和諧的師生關系，還有助于學生認識到自身學習的主觀能動性，進而使學生在參與的過程中提升自身的綜合能力.

4.有針對性原則

“變”需要學生擁有扎實的基礎知識，但由于學生的個性差異，每位學生的基礎并不相同，所以在開展變式教學時，要結合學生的實際情況，開展有針對性的“變”，否則就會適得其反.若學生的認知能力與思維能力較高，那么教師可以適當地加大“變”的深度與廣度；反之，教師就應該以基礎知識為主，適當地降低“變”的深度與廣度.籠統來講就是，“變”要尊重學生的個性差異，因材施教，確保每位學生都能夠獲得發展.

三、“一題多變性”變式在“求圓錐曲線的離心率”中的應用

采用“一題多變性”變式教學，能夠活躍課堂的教學氛圍，吸引學生主動參與，同時也能夠放飛學生的思維，使學生積極主動地思考探索，有效避免了死板與僵化，更重要的是，使學生在“變”的過程中，優化、完善大腦中的知識結構.在復習“圓錐曲線的離心率”的課堂上，筆者首先引導學生回顧了橢圓、雙曲線及拋物線的幾何性質，使學生的大腦中呈現出離心率的公式，加以點撥認知離心率的取值范圍.而為了使學生掌握“求圓錐曲線的離心率”的技能，筆者結合一道實例，采用“一題多變”的方式，加深了學生對圓錐曲線的離心率相關知識的認知，同時也促使學生掌握了解題技巧，更使學生的思維得到了訓練與提升.

例題已知橢圓C1的方程式為而橢圓C2過橢圓C1的兩個焦點、短軸的兩個端點，那么橢圓C2的離心率為______.

解析：由已知條件可知：

橢圓C1的兩個焦點的坐標分別為0），短軸的兩個端點的坐標為（0，3）、（0，-3）.

注釋：通過題目的已知條件，就可以輕輕松松求得a與c，基于此，通過橢圓的離心率公式e就可以求得答案.該類型題目就是一道基礎題.然而，在近幾年的高考試卷中，有關離心率的題目，往往是不能夠直接求得a與c的值，因此在課堂上，筆者并未到此為止，而是通過“變”的方式，進行了深入挖掘，使學生真正掌握了“離心率”這一知識點.

變式一：若雙曲線的方程為（a>0，b>0），該雙曲線的一條漸近線過點A（3，-4），那么該雙曲線的離心率e為______.

注釋：本題目，通過已知條件根本不能求得a與c的值，而我們可以結合已知條件給出的等量關系，列出a與c的等量關系，進而經過“變”得到此，結合離心率的公式，求得離心率該類題目的難度屬于中等，在課堂上，教師要以引導、點撥為主，促使學生積極主動地“思”，同時還要及時關注學生的動態，80%的學生能夠正確掌握該類題目的解題技巧.

變式二：已知F1、F2是雙曲線的左右兩個焦點，且F1、F2的坐標分別為（-c，0）、（c，0）.P是雙曲線上的任意一點，且的最小值的取值范那么該雙曲線的離心率的取值范圍是______.

注釋：該題目是一道綜合性較強的題目，其中運用了向量的相關知識，難度也增加了，因此在課堂上，筆者要進行引導，但并非作為重點進行“講”解，因為本題目的難度較大.