基于Fourier變換離散化的連續(xù)小波變換頻域算法

易 華

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基于Fourier變換離散化的連續(xù)小波變換頻域算法

易 華

（井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009）

對于固定的尺度, 小波變換是待分析信號與小波基函數(shù)的線性卷積。當(dāng)小波基函數(shù)的Fourier變換有顯式表達(dá)式時, 利用其Fourier變換進(jìn)行線性卷積稱為小波變換的頻域計算方法。由于線性卷積的長度大于信號的長度, 因此, 選取線性卷積中的哪一部分作為小波變換的系數(shù)也是一個亟需回答的問題。本文利用Fourier變換的離散化和離散Fourier變換的關(guān)系由小波變換時域算法推導(dǎo)了小波變換頻域算法，證明了時域算法與頻域算法的等價性; 解釋了這兩種方法分別應(yīng)該選取線性卷積中的哪一部分作為小波變換的系數(shù); 分析了頻域算法產(chǎn)生邊界效應(yīng)的原因; 給出了頻域算法中參數(shù)的選取方法, 以便克服邊界效應(yīng)。時間復(fù)雜度分析以及數(shù)值實(shí)驗(yàn)均表明了頻域算法至少比時域算法減少了1/3的運(yùn)行時間。

連續(xù)小波變換；Fourier變換；離散時間Fourier變換；離散Fourier變換；線性卷積；周期卷積

0　引言

連續(xù)小波變換的算法大致分為兩類。第一類快速算法依賴于雙尺度方程，得到近似的低通、高通濾波器系數(shù)，從而小波變換系數(shù)可以迭代求解[1]。這類算法的時間復(fù)雜度為Ο(N)[1-2]。但是，此類算法限制了尺度的取值范圍，例如限制尺度取二進(jìn)尺度或者整數(shù)值。而且近似的濾波器系數(shù)使得其在某些應(yīng)用中，計算精度不夠高。

第二類快速算法直接對連續(xù)小波變換的積分表達(dá)式離散化，因此要求小波函數(shù)的解析表達(dá)式是顯式給出的。……