骨架突破法

江蘇省海安高級中學 董裕華

什么是數學的骨架內容？

所謂骨架內容是指數學的基本概念和重要公式.概念是數學的核心內容.學習一個新符號，概念就是指那個符號的定義、性質、特征等；學習一個圖形，概念則是指圖形的定義、定理、性質一類的東西.公式可以讓我們省略很多解題步驟，很容易直接得出結果，如三角誘導公式、正弦定理、余弦定理等.重要的數學用語或公式要在理解的基礎上熟練背誦，并能準確默寫.需要注意的是，在作為骨架的概念或者公式里沒有必要包含過難的內容，認真學習以后就應該能夠記得住.骨架學習，旨在把握知識整體的骨架.

怎么學習骨架內容？

數學的骨架內容，大部分的輔導書都已經列出了.教科書和輔導書在學習上的作用各有千秋.教科書的長處在于它有較為詳盡的說明，重點是把既簡單又重要的內容整理出來；輔導書的長處則在于它收錄了考試中常常出現的題目類型，而且把概念整理得條理清晰、一目了然.在學習的時候，要以教科書為主，并依靠輔導書的幫助來整理一些需要背誦的東西.如果喜歡自己整理，還可以用熒光筆或彩色筆把必須要記住的東西標注好，或把它們抄寫在筆記本上去記憶，這樣可能會更有成效.

為了提高骨架內容的學習效果，還要輔之以相應的骨架題.骨架題就是那些與重要的概念、公式直接相關的題目.這些題目是考試中的必考題，是檢驗各個單元的重要概念是否掌握的尺子.大致來說，圍繞每個知識點的骨架題有4個左右，有時候也會只有一兩個.學習骨架題最好以教科書為藍本，一般都是在重要概念或公式的說明之后出現的題目，課本的例題和習題大多是骨架題.前面舉的好多例子都是在課本骨架題的基礎上拓展開來的.

為什么學習骨架題可以迅速提高成績？

第一，骨架內容和骨架題代表的是所在單元的基本學習目標.要想獲得基礎分，掌握它們就已經足夠了.如果說骨架內容是構筑數學大廈的鋼筋，骨架題就是構筑大廈的混凝土，其他數學題目只是建筑需要的磚瓦.磚瓦也不是多多益善，但沒有鋼筋、混凝土，高樓大廈就無法構筑.

第二，骨架題是學習相關知識點的重要載體，讓整個知識血肉相連，促進了骨架內容的理解和消化，就像鋼筋、混凝土融合在一起的時候才牢不可破.如果連骨架題都不會，其他題目做得再多也不會有什么幫助.

第三，骨架題在考試中一定會出現.如果把略微應用了骨架題的題目都算在內的話，很多的考試題目實際上都在此列.即使是高考，只要把這些內容切實掌握好，考個100分以上（滿分按150分或160分計）也不是一件很難的事.而且對骨架題集中學習，量并不大，時間也可以大幅減少.只要把骨架題實實在在掌握好了，至少能使你保持中游水平.

第四，如果在平時學習時，已經預習過課本的骨架內容和骨架題，你就能更加積極地參與課堂上的互動，理解也會更清楚，自然也就會覺得更為有趣.

骨架題要練習到什么程度？

骨架題要練習到在沒有任何外界幫助的情況下，能夠自己把它們解答出來的程度.這與背誦公式和概念差不多，特別是對于教科書中的解題步驟，盡可能原封不動地把它們寫出來是很重要的.有些同學總是自己隨心所欲地杜撰一些解題步驟，這是一個必須改正的不良學習習慣.

以《平面向量》為例，我們編制了如下資料（注：受篇幅限制，本文僅摘錄部分）：

一、向量的基本概念

【骨架知識】

①向量的定義：既有大小又有方向的量.向量具有數量和方向兩重性.向量可以用有向線段來表示，有向線段是固定不變的，但向量可以平移.向量平移后，其起點和終點的坐標都變了，但向量的坐標不變.

②零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0.零向量的方向是任意的.

④相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量.

⑤平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a，b叫做平行向量，記作：a∥b；規定零向量和任何向量平行.兩向量平行包含兩向量在同一條直線上的情形，但兩直線平行卻不包含兩直線重合的情形.

相等向量與共線向量的關系：（i）相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；（ii）相等向量具有傳遞性，而平行向量不具有傳遞性.非零向量a，b滿足a∥0，b∥0，但不一定有a∥b.

⑥相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量a.的相反向量是-a.

【骨架題】

（1）已知A（1，2），B（4，2），則把向量按向量a＝（-1，3）平移后得到的向量是________.

（2）下列六個命題：（i）若|a|＝|b|，則a＝b.（ii）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.（iii）若，則ABCD是平行四邊形.（iv）若ABCD是平行四邊形，則.（v）若a∥b，b∥c，則a∥c.（vi）A，B，C三點共線共線.其中正確的是_____________.

二、向量的表示方法

【骨架知識】

①幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，起點在前，終點在后.如.

②符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a，b，c.

③坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j為基底，則平面內的任一向量a可表示為a＝xi＋yj＝（x，y），稱（x，y）為向量a的坐標，a＝（x，y）叫做向量a的坐標表示.如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.

三、平面向量基本定理

【骨架知識】

如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

【骨架題】

（3）向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖1所示.若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），則＝________.

（4）已知D，E分別是△ABC的邊BC，AC的中點，且，則可用向量a，b表示為________.

（5）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.

圖1

四、實數與向量的積

【骨架知識】

實數λ與向量a的積仍是一個向量，記作λa.它的長度和方向規定如下：①|λa|＝|λ||a|；②當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.

五、平面向量的數量積

【骨架知識】

①兩個向量的夾角：對于非零向量a，b，作，，∠AOB＝θ（0≤θ≤π）稱為向量a，b的夾角.當θ＝0時，a，b同向；當θ＝π時，a，b反向；當時，a，b垂直.

②平面向量的數量積：如果兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數量|a|·|b|cosθ叫做a與b的數量積，記作：a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規定：零向量與任一向量的數量積是0.

【提醒】數量積是一個實數，而不再是一個向量.零向量與任一向量的數量積是數0，而數0與任一向量的積是零向量.

③向量數量積的性質：設兩個非零向量a，b，其夾角為θ，則：

（i）a⊥b?a·b＝0；（ii）當a，b同向時，a·b＝|a||b|，特別地，a2＝a·a＝|a|2，；當a與b反向時，a·b＝-|a||b|；當θ為銳角時，a·b＞0；但a·b＞0時有可能a，b同向.因此，a·b＞0是θ為銳角的必要非充分條件.同樣，當θ為鈍角時，a·b＜0.a·b＜0是θ為鈍角的必要非充分條件；（iii）非零向量a，b夾角θ的計算公式：cosθ＝；（iv）|a·b|≤|a||b|.

【骨架題】

（6）△ABC中，，則＝________.

（8）已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為________，的最大值為________.

（9）已知a，b是兩個非零向量，且|a|＝|b|＝|a-b|，則a與a＋b的夾角為________.

（10）如果向量a＝（λ，2λ），b＝（3λ，2）的夾角為銳角，則λ的取值范圍是________.

六、向量的運算

【骨架知識】

①幾何運算

（i）向量加法：有兩個法則.一是“平行四邊形法則”，只適用于不共線的向量，強調共起點.二是“三角形法則”，強調首尾相接.設，則向量叫做a與b的和，即.

②坐標運算

設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則：

（i）向量的加減運算：a±b＝（x1±x2，y1±y2）.

（ii）實數與向量的積：λa＝λ（x1，y1）＝（λx1，λy1）.

（iii）若A（x1，y1），B（x2，y2），則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.

（iv）平面向量數量積：a·b＝x1x2＋y1y2.

（vi）兩點間的距離：若點A（x1，y1），點B（x2，y2），則

【骨架題】

（12）已知向量a，b的夾角為45°，且，則|b|＝________.

（13）若O是△ABC所在平面內一點，且滿足，則△ABC的形狀為_________________.

（14）已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c-a-b|＝1，則|c|的取值范圍是________.

七、向量的運算律

【骨架知識】

（i）交換律：a＋b＝b＋a，λ（μa）＝（λμ）a，a·b＝b·a.

（ii）結合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）.

（iii）分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb，（a＋b）·c＝a·c＋b·c.

【骨架題】

（15）下列十個命題：①a·（b-c）＝a·b-a·c；②a·（b·c）＝（a·b）·c；③若a·b＝0，則a＝0或b＝0；④|a-b|2＝|a|2-2|a|·|b|＋|b|2；⑤若a·b＝c·b，則a＝c；⑥|a|2＝a2；⑦；⑧（a·b）2＝a2·b2；⑨（a-b）2＝a2-2a·b＋b2；⑩若|a＋b|＝|a-b|，則a·b＝0.

其中正確命題的序號是__________.

八、向量平行（共線）或垂直的充要條件

【骨架知識】

①設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且b為非零向量，則a∥b?存在實數λ，使a＝λb?（a·b）2＝（|a||b|）2?x1y2-y1x2＝0.注意：與x1y2-y1x2＝0不等價，a∥b時x2或y2可以為零.

②設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a，b均為非零向量，則a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a-b|?x1x2＋y1y2＝0.

【骨架題】

（16）若向量a＝（x，1），b＝（4，x），當x＝________時，a與b共線且方向相同；當x＝________時，a⊥b.

（17）已知a＝（1，1），b＝（4，x），u＝a＋2b，v＝2a＋b，且u∥v，則x＝________.

九、向量的一些常用結論

【骨架知識】

①首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量.封閉圖形順次首尾連接而成的向量和為零向量.

②||a|-|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|（可利用三角形解釋）.特別地，|a＋b|＝|a|＋|b|≥||a|-|b||＝|a-b|?a，b同向或至少有一個為0.|a-b|＝|a|＋|b|≥||a|-|b||＝|a＋b|?a，b反向或至少有一個為0.a，b不共線?||a|-|b||＜|a±b|＜|a|＋|b|（和實數類似）.

③設P1（x1，y1），P2（x2，y2），則線段P1P2的中點坐標為.P為P1P2的中點.（M為任意一點）

在△ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則其重心的坐標為.

⑤三角形“心”的特征

（i）AD是△ABC中BC邊的中線；G為△ABC的重心（三角形三條中線的交點）.特別地，為△ABC的重心.

【骨架題】

（19）若點O是△ABC的外心，且，則△ABC的內角C為________.

（20）平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1），B（-1，3），若點C滿足，其中λ1，λ2∈R且λ1＋λ2＝1，則點C的軌跡是____________.

數學并不是一門一學習就立竿見影的學科.實實在在地突破重要知識點的骨架內容，比起漫無目的地做大量的題目、一個單元一個單元往下趕進度來說，效果會更為明顯.

不要指望一下子把那么多的東西都學好，只需把重要的題目集中起來實實在在地掌握好即可！

（本文節選自《減負增效學數學》一書）