唱情歌前的調音？三角函數公式也許能幫你！

溦之洸茫（譯）

有些時候，那些僅從理論角度看上去有意思的數學公式可以揭示與某些應用問題的意想不到的聯系.

以三角學中“和差化積”公式為例

這個公式在解釋“差拍”這個聲學現象時會有直接的應用，讓我們看看這到底是怎么一回事.

圖1

差拍

當你同時彈奏兩個頻率很接近的音時，合成出來的音聽上去時有時無，好像某人在以一個固定的頻率調大和調小音量，這種現象就叫做差拍.三角函數公式會幫助我們解釋它.

f1（t）＝sin（ω1t）

f2（t）＝sin（ω2t）

彈奏的這兩個音可以用具有頻率ω1，ω2的兩個三角函數表示（準確地說這兩個是角頻率，但簡單起見，在這里就把它們稱為頻率）.

作為一個非常好的近似，我們可以認為聲學現象是線性的.如此一來，同時彈奏兩個音符產生的聲音就等于這兩個單音的疊加.

S（t）＝sin（ω1t）＋sin（ω2t）

借助和差化積公式，我們可以將這個“聲音”函數表示為

在最后的表達式中，我們定義了

如果這兩個頻率ω1，ω2很接近，我們可以認為ω（ω1，ω2的平均值）和這兩個頻率也是很接近的.同時δ（ω1，ω2的差值的一半）在與ω相比時是一個非常小的量.

當δ遠遠小于ω時，我們可以認為它是一個對音符sin（ωt）的周期性放縮，放縮倍數為A（t）＝2cos（δt）.

S（t）＝A（t）sin（ωt）

我們可以看出，A（t）扮演了一個周期性調節聲音sin（ωt）的音量的角色.兩個初始頻率越接近，那么差拍頻率δ就越慢（譯者注：δ越小，周期就會越大）.

在圖2中，你可以看到一個例子，上圖是兩個函數f1和f2，下圖是它們合成后的函數S.

圖2

樂器校音

差拍現象可以用于為樂器校音，讓我們看看這是怎么進行的.

假設你現在需要借助一個音叉來為吉他校音，如果吉他的弦被調到與音叉的音相近的地方時，同時彈響它們就會產生差拍.通常地說，要通過提高或降低弦的張力來完美校音是很難的.通過反復試錯則比較容易.

我們假設你試圖提高弦的張力（也就是提高音的頻率），你撥動了這根弦并敲擊了音叉，于是聽到差拍的頻率增加了.這就說明提高弦的張力這法子是走反方向了.此時你應該慢慢減小弦的張力，直到差拍頻率小到幾乎不會引起注意.現在恭喜你，你的吉他弦與音叉產生的是同一個音（對于實際演奏而言，已經足夠了）.

剩下的5根弦呢，過程是一樣的，只不過你借助的不再是音叉而是你所調好的那根弦的其他音.（譯者注：吉他不同弦上可能會有同一個音，以調好的弦上的音為基準，找它在另一弦同樣的音，進而校準這根弦）

當然，你可以借助電腦程序為樂器調音.但假設你現在在海灘或者路邊上演奏吉他，周圍是你的一群粉絲，而你正好沒有電腦、手機沒電.你最好知道怎么用傳統的方法校準吉他，要不然你會瞬間掉粉的！