品味奇妙投影

上海 常文武

在燈影下，我們的影子會嚴重扭曲.數學上看，光線在我們的“身”與“影”之間建立了一個“變換”.Sergio Aragonés的漫畫就告訴我們這種變換多么不靠譜！

圖1的漫畫里，四人紙牌游戲鏖戰正酣，大贏家面前堆滿了贏來的錢，輸錢的另外三位面露笑容貌似祝賀贏家有好運，墻上的影子卻將三人的想法揭示無遺：等會兒拿刀追殺你，看你哪里逃？

圖1 《影子會說話》

的確，投影幾何的“變數”非常大：線段的中點投影后不再是影子的中點；圓甚至變成了拋物線或雙曲線！不過，再離奇的變換也有其不變的量——交比.

什么是交比？簡言之，交比就是兩個比的商.確切地說，當線段AB上有兩個分點：C和D（可以不管先后），它們分線段為兩個比AC∶CB和AD∶DB，那么這兩個比再作商或化簡為（AC×DB）／（AD×CB）就叫這四點的交比，記作（A，B；C，D）.

也可以這么說，任何共線的4點可以看作3段線段a，b，c首尾相連的整體.第一段和后兩段的比是a∶（b＋c），第一、二段和第三段的比是（a＋b）∶c，那么比之比（交比）就是ac／（b＋c）（a＋b）.前文所斷言的就是在投影變換（數學上嚴格來說叫射影變換）下這個比是不變的（圖2）.

圖2

交比不變性是射影幾何學的核心概念，可以用初等平面幾何來證明這一性質.

圖3

圖4

現在在AB之間再添加一個點D（如圖4），同上得到新的比.于是再次求商得成立，這說明A，B，C，D四點的交比只和光源P與它們形成的4個張角α，β，θ，γ有關.當我們用另一條直線截這個三角形得到4個交點A′，C′，D′，B′時，新的四點的交比按照同一計算過程應該仍然應得到同一交比.這便證明交比是不變的.

漫畫家和數學家分別看到了影子的兩重性，影子對原物扭曲變化的同時，保留了內蘊的一個不變量——交比.