二項式定理常考問題面面觀

■安徽省阜陽市太和中學 任海濤

二項式定理是初中所學多項式乘法的繼續,所研究的是一種特殊形式的多項式即二項式乘方的展開式,在高考中備受青睞,下面就二項式定理在高考中的幾類題型加以歸納總結,以供同學們參考。

題型一 通項問題

例1的展開式中,x3的系數為__。

解析的展開式的通項為

例2在的二項式中,所有項的二項式系數之和為256,則常數項為__。

解析：因為二項式展開式中所有項的二項式系數之和為2n=256,所以n=8。

二項式展開式中的通項為Tr+1=

點評：本題研究的是二項展開式中的常數項,對于此類問題可以從通項入手,也可以采用指數分配的原則進行處理。展開式中的常數項出現在第3項,此時r=2,說明的指數為6,而的指數為2,也就是說冪指數8按3∶1進行了分配,常數項為C(-2)2=112。

題型二 系數配對問題

例3的展開式中各項系數的和為2,則該展開式中常數項為__。

解析：對于,令x=1得,各項系數和為1+a=2,故a=1。

故令5-2r=-1,得r=3。

令5-2r=1得r=2。

點評：對于求幾個多項式乘積的展開式中的特定項問題,一般采用雙通項法解決,所謂雙通項法就是根據多項式與多項式的乘法法則,得到(a+bx)m(s+tx)n的展開式中的一般項為的項未必只有一項),然后根據題目中對字母的指數的特殊要求,確定r,k所滿足的條件,進而確定r,k的值。

題型三 多項式展開問題

例4(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數為__。

解 法 1：(x2+x+y)5=,易知令r=2,則(x2+x)3的展開式的通項為Tk+1=

令k=1,可得x5y2的系數為

解法2：(x2+x+y)5表示5個因式x2+x+y相乘,要得到x5y2項,只需要先從5個因式中選2個因式中的y,再在其余3個因式中選1個x即可,故x5y2的系數為

點評：解法1是利用轉化思想把三項式轉化為二項式來解決,解法2是利用二項式定理的推導方法來解決,本質是利用加法原理和乘法原理,用此方法可以直接求展開式中的某特定項。

題型四 展開式系數和差問題

例5設(1-2x)2016=a0+a1x+a2x2

解析：因為Tr+1=Cr2016(-2x)r=, 所以a2k-1＜0,a2k＞0(k∈N*)。

點評：賦值法是解決二項展開式中項的系數問題的常用方法,一般地,要使(a+x)n的展開式中項的關系變為系數的關系,常令x=0得常數項,令x=1可得所有項的系數和,令x=-1可得偶次項系數之和與奇次項系數之和的差。

題型五 系數最大項問題

例6設m為正整數,(x+y)2m展開式的二項式系數的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數的最大值為b,若13a=7b,則m=__。

解析：根據二項式系數的性質知(x+y)2m展開式的二項式系數的最大值為

(x+y)2m+1展開式的二項式系數的最大值,故,解得m=6。

題型六 近似計算問題

例71.00355精確到0.001的近似值為__。

解析：1.00355=(1+0.0035)5≈1+5×0.0035=1.0175≈1.018。

點評：近似計算的處理方法為：當a的絕對值與1相比很小且n不大時,常用近似公式(1±a)n≈1±na,但要注意的是應注意a的條件,以及對精確度的要求,若精確度要求較高時,則可使用更精確的近似公式(1+a)n進行計算。

題型七 等式不等式證明問題

例8求證：對于一切n∈N*,都有2≤

點評：用二項式定理證明不等式時,應注意構造二項式,對展開式的項進行放縮以達到求和的目的。