全國名校計數原理綜合測試題答案與提示

一、選擇題

1.C

2.A

3.B

4.C 提示：第一步,安排A有2種方法;第二步,在剩余的5個位置選取相鄰的兩個排B,C,有4種排法,而B,C位置互換有2種方法;第三步,安排剩余的3個程序,有種排法。共有=96(種)排法。

5.D 提示：512012+a=(13×4-1)2012+a,被13整除余1+a,結合選項可得a=12時,512012+a能被13整除。

7.C

10.B 提示：從這9名大學生志愿者中任選3名派到3所學校支教,則有A種選派方案,3名志愿者全是男生或全是女生的選派方案有A+A種,故符合條件的選派方案有A-(A+A)=420(種)。

11.A 提示：先涂三棱錐P-ABC的三個側面,然后涂三棱柱的三個側面,共有C×C×C×C=3×2×1×2=12(種)不同的涂法。

12.D 提示：從P點處進入結點O以后,游覽每一個景點所走環形路線都有2個入口或2個出口,若先游覽完A景點,再進入另外兩個景點,最后從Q點處出有(4+4)×2=16(種)不同的方法。同理,若先游覽B景點,有16種不同的方法;若先游覽C景點,有16種不同的方法。因此,所求的不同游覽線路有3×16=48(種)。

13.D

14.B 提示：先從除甲、乙外的4人中選取1人去巴黎,再從其余5人中選3人去倫敦、悉尼、莫斯科,共有不同選擇方案A·A=240(種)。

15.D

16.B

17.D

18.C 提示：利用二項展開式的通項公式求解,由題意知,C=C,故n=9。

二、填空題

19.80

20.16

21.24

22.1 或-3 提示：令x=0,得到a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9。令x=-2,得到a0-a1+a2-a3+…-a9=m9。

所以(2+m)9m9=39,即m2+2m=3。

解得m=1或-3。

三、解答題

23.“完成這件事”需選出男、女隊員各1人,可分兩步進行：

第一步,選1名男隊員,有5種選法;

第二步,選1名女隊員,有4種選法。

所以共有5×4=20(種)選法。

24.按照焊接點脫落的個數進行分類：

第1類,脫落1個,有1,4,共2種情況;

第2類,脫落2個,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6種情況;

第3類,脫落3個,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4種情況;

第4類,脫落4個,有(1,2,3,4),共1種情況。

根據分類加法計數原理,共有2+6+4+1=13(種)焊接點脫落的情況。

(1)令x=1,得各項系數的和為(1-2)8=1。

27.由題意知,按選擇投資城市的個數分兩類：

②投資2個城市,其中1個城市投資1個項目,另1個城市投資2個項目,即先從3個項目中選2個看作1個元素(投資在某1個城市),另1個項目看作1個元素(投資在另1個城市),然后把這2個元素在4個城市里進行選排,這樣有CA種方案。

28.(1)為保證“恰有1個盒不放球”,先從4個盒子中任意取出去1個,問題轉化為“4個球,3個盒子,每個盒子都要放球,共有幾種放法?”,即把4個球分成2,1,1的三組,然后再從3個盒子中選1個放2個球,其余2個球放在另外2個盒子內,由分步乘法計數原理知,共有CCC×A=144(種)放法。

(2)“恰有1個盒內有2個球”,即另外3個盒子放2個球,每個盒子至多放1個球,也即另外3個盒子中恰有1個空盒,因此,“恰有1個盒內有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事,所以共有144種放法。