楊輝三角中的“幾何圖形”

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆

楊輝,是我國南宋時期一位杰出的數學家。在他所著的《詳解九章算法》一書中,畫了一張表示二項式展開后的系數構成的三角圖形,現在簡稱為“楊輝三角”,它是數學史上的一大重要研究成果。

一般地,楊輝三角是指如下的圖形：

圖1

從上面的圖形中,很容易發現,這個三角形的兩條斜邊都是由數字1組成的,而其余的數都等于它肩上的兩個數相加。例如,2=1+1,3=1+2,4=1+3,6=3+3,等等。在一般情形下,若令=0,則有(r=1,2,…,n),這個等式被稱為楊輝恒等式,它是楊輝三角最基本的性質。

當我們把楊輝三角中的上下左右相連的部分數看成一個獨立的整體,那么就會發現一些非常有趣的“幾何圖形”,從而挖掘出楊輝三角“形”的秘密。

一、楊輝三角中的“三角形”

例1在圖2所示的“三角形”中,第7行最中間的數是__。

圖2

解：因為C=1,C=3,C=10,所以此“三角形”中第1行、第3行、第5行最中間的數依次應是楊輝三角中的第2行第1個數、第4行第2個數、第6行第3個數,由此可知,此“三角形”中的第7行最中間的數應是楊輝三角中的第8行第4個數,即為C=

點評：求解此題關鍵有兩點：一是找出第7行是楊輝三角中的第幾行,二是找出最中間的數是楊輝三角中的第幾行的第幾個數。只有找出這兩個結果,才能順利解題。

二、楊輝三角中的“梯形”

例2在圖3所示的“梯形”中,第8行的第2個數是__。

圖3

解：因為C=3,所以此“梯形”中第1行的第2個數應是楊輝三角中的第1+3=4行的第3個數,由此可知,此“梯形”中的第8行的第2個數應是楊輝三角中的第8+3=11行的第3個數,即為

點評：由此“梯形”中第1行的第2個數入手,找出它在楊輝三角中的具體位置,是求解此題的關鍵。

三、楊輝三角中的“平行四邊形”

例3在圖4所示的“平行四邊形”中,第6行的第1個數是__。

圖4

解：因為C=4,C=10,C=20,C=35,所以此“平行四邊形”中的前四行的第1個數依次應是楊輝三角中的第5行的第2個數、第6行的第3個數、第7行的第4個數、第8行的第5個數,由此可知,此“平行四邊形”中的第6行的第1個數應是楊輝三角中的第10行的第7個數,即

點評：如果從第2行起,移動每一個數,并將它們與第1行的各個數對齊,那么此“平行四邊形”就變成了“矩形”,這樣一變,圖中的規律便變得隱蔽起來,從而題目的難度將會增加。

四、楊輝三角中的“菱形”

例4在圖5所示的菱形中,第(5)個“菱形”是__。

圖5

解：由前4個“菱形”可知,第(5)個“菱形”最上面的數應為5,第2行的兩個數應為15,6,最下面的數應為15+6=21。

點評：此題給出的前4個“菱形”,具有明顯的規律性：(1)每個“菱形”的第1行是按順序排列的自然數;(2)每個“菱形”右上斜邊是連續的兩個數;(3)從第2個“菱形”開始,后面每1個“菱形”第2行的第1個數是前1個“菱形”最下面的數。

五、楊輝三角中的“六邊形”

例5在圖6所示的“六邊形”中,第(4)個“六邊形”是__。

圖6

解：由前3個“六邊形”可知,第4個“六邊形”第1行的兩個數應為35,35,在楊輝三角中找出這兩個數的位置以及下面兩行相鄰的數,即得此“六邊形”中第(4)個“六邊形”是：

點評：按照題中給出的前3個“六邊形”,寫出第(4)個“六邊形”的第1行很容易,關鍵是如何找出第2行的第1個(或第3個)數。對此可以利用“還原法”和“補數法”完成,即將題中給出的3個“六邊形”先還原為楊輝三角,然后補上所需要的數,即可得到答案。

六、“倒立”的楊輝三角

例6圖7是“倒立”的楊輝三角,則第(4)個“倒立”的楊輝三角最下面的數是__。

圖7

解：由前3個圖示可知,第4個“倒立”的楊輝三角的第1行的五個數應為1,4,6,4,1,由此可知第2行的四個數應為5,10,10,5,第3行的三個數應為15,20,15,第4行的兩個數應為35,35,第5行的一個數應為70,所以第(4)個“倒立”的楊輝三角最下面的數是70。

點評：如果由前3個圖示給出的最下面的數2,6,20,去猜測或者求解第(4)個“倒立”的楊輝三角中最下面的數,那么難度會很大,但是由上而下去看,則規律明顯,雖然要一行一行去推出每個數,卻能穩操勝券。

七、“側放”的楊輝三角

例7圖8是“側放”的楊輝三角,則第(4)個“側放”的楊輝三角最前面的數是__。

圖8

解：由給出的圖示可知,第1個、第2個、第3個“側放”的楊輝三角最前面的數依次是1,4,15,因為C=1,C=4,C=15,所以它們應是楊輝三角第3行的第1個數、第5行的第2個數、第7行的第3個數,由此可知,第(4)個“側放”的楊輝三角最前面的數應是楊輝三角第9行的第4個數,即為C=

點評：一般地,按照此題“側放”的楊輝三角,第(n)個最前面的數是

八、“X型”的楊輝三角

例8圖9是“X型”的楊輝三角,則第(4)個“X型”的楊輝三角最中間的數是__。

圖9

解：由給出的圖示可知,第(1)個、第(2)個、第(3)個“X型”的楊輝三角最中間的數依次是3,10,35,因為C=3,C=10,C=35,所以它們應是楊輝三角第4行的第2個數、第6行的第3個數、第8行的第4個數,由此可知,第(4)個“X型”的楊輝三角最中間的數應是楊輝三角中第10行的第5個數,即為C

點評：“X型”的楊輝三角,可以看成是由一個楊輝三角中的“三角形”與另一個“倒立”的楊輝三角合并得到的,因此,此題可以分解為下列兩個子問題。

變式1：在圖10所示的“三角形”中,第(4)個“三角形”最上面的數是__。

圖10

變式2：圖11是“倒立”的楊輝三角,則第(4)個“倒立”的楊輝三角最下面的數是__。

圖11

楊輝三角是我國古代數學傳承下來的珍貴文化,它形中有數,數中有形,看似簡單平凡,卻內涵十分豐富,是數與形結合的最佳產物。當我們走進楊輝三角,對它的內部結構和形狀進一步探究時,就會挖掘出許多有價值的智力資源,從而不斷提升我們的解題智慧。