淺談復數中的幾種數學思想

■廣東省廣州市第二中學 李 超

復數在高考中屬于必考內容,主要考查：(1)復數的基本概念與四則運算;(2)復數模的計算;(3)復數的幾何意義。其中蘊含很多數學思想,現歸納幾種常見的數學思想。

一、數形結合思想

數形結合思想是一種重要的數學解題策略,它是根據數量與圖形之間的對應關系,通過數與形的相互轉化來解決問題的一種重要思想方法,也是一種智慧的解題技巧。它的特點：由數思形;由形助數;數形結合。因為復數可用代數形式或者幾何形式表示,所以復數的各種運算具有了幾何意義。同學們如果能靈活地運用數形結合的方法,就可以使問題直觀、快捷地得到解決。

例1設i是虛數單位,復數z1=2-2i,當復數z滿足|z|=1時,求|z-z1|的最大值和最小值。

圖1

評注：與復數有關的最值問題通常要利用復數的幾何意義。

二、分類討論思想

分類討論是指按照一定的標準,將研究對象合理地分成幾個部分或幾種情況,然后逐類進行討論,最后總結各類結果的解法。

例2設方程x2-2x+m=0的根分別為x1,x2,且|x1-x2|=2,求實數m的值。

解析：(1)當Δ=4-4m≥0(m≤1)時,即x1∈R,x2∈R。

因為|x1-x2|=2,所以|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=8,解得m=-1。

(2)當Δ=4-4m＜0(m＞1)時,即x1,x2為共軛復數。

《規劃》力求從五個方面夯實農墾振興的基石：一是在農業生產上實現由追求數量到講究質量的轉變，著眼于發展綠色、生態、有機、優質農產品；二是實現多業態融合發展，堅持農業種養結合、農業服務與農產品精深加工結合、農旅結合，實現一二三產融合發展；三是以項目為抓手，加大投入力度，實施項目帶動產業發展；四是在體制機制上進一步推進集團化改革，增強企業內生動力，實現集團由管理型向服務型轉變；五是爭取政府的支持，與安徽省鄉村振興規劃相對接，搶抓發展機遇，確保農墾與地方平等享受國家普惠政策。

解得m=3

綜上,實數m的值為-1或3。

評注：注意審題,掌握在復數范圍內一元二次方程的求解方法,以及復數的運算法則是解答本題的關鍵。

三、方程思想

方程思想就是分析數學問題中變量間的等量關系,建立方程或方程組,或構造方程,通過解方程(組),或者運用方程的性質去分析、轉化問題,使問題獲得解決。

例3(江蘇卷)設復數z滿足i(z+1)=-3+2i(i為虛數單位),則z的實部是__。

解析：解法1：令z=a+bi(a,b∈R)。

由i(z+1)=-3+2i得i[(a+1)+bi]=-b+(a+1)i=-3+2i。

故a=1,b=3,z的實部是1。

評注：比較兩種解法,顯然解法2更為簡捷,一般地,若方程同時含有z和,則可用復數實數化的策略求解。

四、整體思想

整體處理是數學解題中的重要思想,在學習復數的過程中,要善于研究問題的整體形式及結構,靈活運用整體處理的方法,這樣就能化繁為簡,化難為易,從而達到迅速求解的目的。

例4(新課標全國Ⅰ卷)設復數z滿足=i(i為虛數單位),則|z|等于( )。

解析：由已知=i,可得z=選A。

評注：把復數z看成一個整體,當作未知量,根據方程思想,從而得到z,這也是這類問題的一般解題思路。

五、轉化與化歸思想

轉化與化歸思想是處理問題時,將問題通過某種轉化過程,歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題,從而使問題易于獲解。

例5(山東卷)復數為虛數單位)在復平面內對應的點所在象限為( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析在復平面內對應的點在第四象限。故選D。

評注：本題主要考查復數的概念和運算,體現了復數問題實數化的轉化思想。