聚焦排列組合的常考題型

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學(xué) 徐春生

排列組合是高考的必考內(nèi)容,一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),它聯(lián)系生活實(shí)際,生動(dòng)有趣,但題型多樣,思路靈活,不易掌握。因此,同學(xué)們只有掌握題型和解題方法,識(shí)別模式,熟練運(yùn)用,才能順利解題。

一、重復(fù)排列型

例15位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組,每位同學(xué)限報(bào)其中的一組,則不同的報(bào)名方法共有( )。

A.10種 B.20種

C.25種 D.32種

解析：5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組,每位同學(xué)限報(bào)其中的一組,相當(dāng)于5個(gè)不同元素沒(méi)限制地安排在2個(gè)位置上,因此不同的報(bào)名方法共有25=32(種),選D。

點(diǎn)評(píng)：重復(fù)排列型,采用“求冪法”,即n個(gè)不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上,有mn種排列方法。

二、定序型

例2由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)有 個(gè)__。(用數(shù)字作答)

解析：不考慮限制條件,由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)有AA種。題中要求個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字小,即個(gè)位與十位上的數(shù)字一定,則所求的六位數(shù)有

點(diǎn)評(píng)：定序型,采用“縮倍法”,即先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有A種,m(m≤n)個(gè)元素的全排列有A種,由于要求m個(gè)元素次序一定,因此只能取其中的某一種排法,可以利用除法起到調(diào)序的作用,即若n個(gè)元素排成一列,其中m個(gè)元素次序一定,則有種排列方法。

三、平均分組型

例3將6本不同的書(shū)分成三堆,每堆2本,則有__種不同的分法。(用數(shù)字作答)

解析：因?yàn)閷?本書(shū)分成三堆,每堆2本,所以屬于平均分組問(wèn)題。將6本不同的書(shū)分成三堆,每堆2本,有=15(種)不同的分法。

點(diǎn)評(píng)：平均分組型,采用“縮倍法”,即n個(gè)不同的元素平均分成m組(m≤n,m,n可約),每組個(gè),則有種不同的分法。

四、部分平均分組型

例4將8個(gè)球隊(duì)分成3組,一組4個(gè)隊(duì),其他兩組2個(gè)隊(duì),則有__種不同的分法。(用數(shù)字作答)

解析：因?yàn)閷?個(gè)球隊(duì)分成3組,一組4個(gè)隊(duì),其他兩組2個(gè)隊(duì)即可,所以屬于部分平均分組問(wèn)題。將8個(gè)球隊(duì)分成3組,一組4個(gè)隊(duì),其他兩組2個(gè)隊(duì),有=210(種)不同的分法。

點(diǎn)評(píng)：部分平均分組型,采用“縮倍法”,即n個(gè)不同的元素分成p組,各組中元素?cái)?shù)目分別為m1,m2,…,mp,其中有k組的元素?cái)?shù)目相等,則有種不同的分法。

五、分排型

例5 兩排座位,第一排有3個(gè)座位,第二排有5個(gè)座位,若8名學(xué)生入座(每人一個(gè)座位),則不同的坐法種數(shù)是( )。

解析：由于8名學(xué)生入座(每人一個(gè)座位)沒(méi)有限制,應(yīng)是8名學(xué)生的全排列即A,故選D。

點(diǎn)評(píng)：分排型,采用“直排法”,即若n個(gè)元素要分m排排列,可把每排首尾連排成一列,沒(méi)有其他特殊要求,則有A種排法。

六、分配型

例66人帶10把鐵锨參加義務(wù)勞動(dòng),每人至少帶1把,有__種不同的帶法。(用數(shù)字作答)

解析：把10把鐵锨類比成10個(gè)相同的小球,6人類比成6個(gè)不同的盒子,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為10個(gè)相同的小球排成一排,共有9個(gè)空位,如○_○_○_○_○_○_○_○_○_○,在9個(gè)空位中插入5塊隔板,把小球分成6堆,共有C=126(種)不同的方法。

點(diǎn)評(píng)：分配型,采用“隔板法”,即若有n個(gè)相同的小球,放入m(m≤n)個(gè)不同的盒中,每個(gè)盒中至少1個(gè),則在n個(gè)相同的小球形成的n-1個(gè)空位中插入m-1個(gè)隔板就可保證符合題意,故共有種方法。

七、染色型

例7如圖1,一個(gè)正六邊形的6個(gè)區(qū)域A、B、C、D、E、F,現(xiàn)給這6個(gè)區(qū)域著色,要求每一個(gè)區(qū)域染一種顏色,相鄰的兩個(gè)區(qū)域不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇,則有__種不同的著色方法。(用數(shù)字作答)

解析：按相間區(qū)域A、C、E染色情況分類如下：

(1)染同一色：有4×3×3×3=108(種)染法;(2)染2種不同顏色：有(CA)×3×2×2=432(種)染法;(3)染3種不同顏色：有A×2×2×2=192(種)染法。

因此,所求不同的著色方法有108+432+192=732(種)。

點(diǎn)評(píng)：染色型,采用“合并單元格法”,即先將能染同色的兩個(gè)單元格或兩個(gè)以上單元格合并成一個(gè),再考慮其他單元格。

圖1

八、元素個(gè)數(shù)較少型

例8 將7個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的盒子,每個(gè)盒子至少有1個(gè)小球,共有__種的不同放法。(用數(shù)字作答)

解析：先在每個(gè)盒子中放上1個(gè)球,剩下的3個(gè)球用列舉法,如：1 1 1 0;2 1 0 0;3 0 0 0(如“3 0 0 0”表示有1個(gè)盒子放3個(gè)相同的球,其余為空盒)。

故共有3種不同的放法。

點(diǎn)評(píng)：元素個(gè)數(shù)較少型,采用“列舉法”,可以將符合題意的元素一一列舉出來(lái)。