二項式定理中的六類題型

■湖北省巴東縣第三高級中學 廖慶偉

二項式定理是高考的必考內容,主要題型是選擇題或填空題,常考題型有六類：求常數項、求指定項的系數、求參數的值、求n的值、求系數和、求有理項,請同學們務必熟練掌握。

題型一、求常數項

例1的展開式中常數項(用數字作答)

解析：由題意知,其展開式的通項為Tr+1

令6-2r=0,得r=3。

點評：本題直接運用通項公式,要求常數項,則x的指數為0,求出整數r,用通項公式注意(-1)r不能漏掉。

例2若的展開式中各項系數的和為2,則該展開式的常數項為( )。

A.-40 B.-20 C.20 D.40

解析：令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,a=1。由題意知的展開式的通項為

令5-2r=1,得r=2;

令5-2r=-1,得r=3。

所以展開式的常數項為(-1)2×23·,故選D。

點評：令x=1可得所有項的系數和;求出a的值后,再分析常數項的構成,便可解得常數項。

題型二、求指定項的系數

例3(1)(x+2)8的展開式中x6的系數是( )。

A.28 B.56 C.112 D.224

A.-20 B.-5 C.5 D.20

A.10 B.30 C.45 D.120

解析：(1)其通項為令8-r=6,得r=2,即T3=,所以x6的系數是112,選C。

因此,x2只出現在(1+x)10的展開式中。含x2的項為,系數為,故選C。

點評：二項式展開式有關問題的解題策略：

①求展開式中的第n項,可依據二項式的通項公式直接求出第n項;

②求展開式中的特定項,可依據條件寫出第r+1項,再由特定項的特點求出r值即可;

③已知展開式的某項,求特定項的系數,可由某項得出參數項,再由通項公式寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數。

④對于三項式問題,一般是通過合并其中的兩項或進行因式分解,轉化成二項式的形式去求解。

題型三、求參數的值

例4已知的展開式中含的項的系數為30,則a=( )。

解析：由已知得,解得r=1。

點評：易混淆二項式中的“項”,“項的系數”,“項的二項式系數”等概念,注意項的系數是指非字母因數所有部分,包含符號,二項式系數僅指

題型四、求n的值

例5已知的展開式的常數項是第7項,則正整數n的值為___。

解析：由展開式的公式通項得：

由展開式的常數項為第7項,知r=6。則3n-4×6=0,解得n=8。

題型五、求系數和

例6設(x2+1)(x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,則a1+a2+…+a11=( )。

A.5 B.4 C.3 D.2

解析：由題意知,令x+2=0,則x=-2,

((-2)2+1)(-2+1)9=-5=a0。

令x+2=1,則x=-1,此時,(x2+1)·(x+1)9=0=a0+a1+a2+…+a11。

所以a1+a2+…+a11=-a0=5,故選A。

點評：“賦值法”普遍運用于恒等式,是一種處理二項式相關問題比較常用的方法。對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展開式各項系數之和,只需令x=1即可;對形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開式各項系數之和,只需令x=y=1即可。

題型六、求有理項

例7在二項式的展開式中,前三項的系數成等差數列,求展開式中所有有理項。

解析：由二項式的展開式的通項公式可知

由已知得2t2=t1+t3,所以n=1+1),解得n=8或1(舍去)。

通項公式為0,1,2,…,8。若項為有理項,則16-3r是4的倍數,r=0,4,8。

點評：本題涉及展開式前三項的系數成等差數列,注意展開式系數與二項式系數不同,要求有理項,可以通過通項公式解決。

練一練：

(1+2x)n的展開式中第6項與第7項的系數相等,(1)求展開式中二項式系數最大的項;(2)求展開式中系數最大的項。

參考答案：1120x4;

(2)T6=1792x5,T7=1792x6。