生長形態：把握數學學科知識的新視角

【摘? ?要】對數學知識的把握可以分為兩種不同層次的形態，一種是結論形態，另一種是生長形態。數學教師可以通過追問三個問題、達成三個教學思考，來實現從生長形態的新視角，把握數學知識、解讀數學教材，重新賦予數學、數學教學應有的魅力。

【關鍵詞】生長形態;數學規定;教學新視角

通過數學學習學生能夠獲得什么？一個重要因素取決于數學教師對于數學知識的把握程度。筆者把對數學知識的把握分為兩種不同層次的形態，一種是“這是數學規定，知識就是這樣的”，可以稱之為數學知識抽象后的結論形態;另一種是“為什么會這樣規定，這個知識怎樣成為這樣的呢”，可以稱之為數學知識形成中的生長形態。

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾說：沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子發表出來。一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的思考變成冰冷的美麗。正因為數學知識具有這樣一種抽象性、靜態化的特征，在研究不同版本的數學教材后發現，數學教材多以精練、簡潔的數學語言進行表述，往往省去了數學知識的背景描述和探索猜想的思維過程，省去了數學知識所隱含的數學思想方法的揭示。

這樣帶來的一個問題是，部分教師把數學教材中的知識結論簡單地搬運給學生，并反復地加以訓練，以期鞏固。“只講推理，不講道理”。數學教師對于數學知識的把握停留于結論形態，而忽視了生長形態的數學知識所帶給學生思維的啟蒙和滋潤的價值。張奠宙教授說，數學教師的任務在于返璞歸真，把數學的形式化邏輯鏈條恢復為當初數學家發明創新時的火熱思考。只有經過思考，才能最后理解這份冰冷的美麗。因此，生長形態，應當成為數學教材解讀、把握數學學科知識的新視角。

如何從生長形態的視角把握數學知識，解讀數學教材呢？筆者通過追問三個問題、達成三個教學思考來嘗試教學實踐。

追問之一：為什么數學規定成這樣

【思考】數學知識是創造出來的，不是天生就有的

數學知識中有許多規定，比如數學符號“+、-、×、÷”、數學運算法則先乘除后加減、數學單位換算進率、數學各類公式等。但教師往往會覺得，這就是先天既有的規定，并沒有成為教學資源，從而很少去考慮是誰這樣規定的，為什么規定成這樣。

比如在教學“認識多位數”時，學生和教師都很少感覺到為什么我國的計數習慣是“四位一級”，而很多講英語的國家是“三位一級”？它們之間有什么區別？有的教師心目中會自然歸因為這是不同民族的習慣。

但究其根本原因在于文化背景的不同。西方英語國家中沒有“萬”這個名稱，他們的計數單位分別是one（個）、ten（十）、hundred（百）、thousand（千）、ten? thousand（十千）、hundred? thousand（百千）、million（百萬）、ten? million（十百萬）、hundred? million（百百萬）……在這樣的文化背景下，“三位一級”就比較方便，每級分別表示多少個一、多少個千、多少個百萬……而在中國，因為計數單位包括個、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬……在這樣的文化背景下，自然選擇四位一級，每級分別表示多少個一、多少個萬等。

這樣的例子有很多。每一個數學規定都值得我們去追問：為什么數學規定成這樣？在這些追問中，學生會發現，數學知識其實也不是天生就有的，探查其源頭，發現它們并不神秘和復雜，相反，卻能從中感受到一種非常親切和豁然開朗的感覺：它是數學家們對生活常識的一種合理遷移和概括。讓學生擁有這樣一種學習經歷，那么數學在他們眼里，一定不會枯燥和深奧，相反，數學是一種鮮活的事物、創造的啟迪。教師引導學生弄清知識產生的淵源，學生就能更深刻地理解數學知識。

追問之二：數學規定除了這樣，還曾經是什么樣子的

【思考】數學知識經歷了優化發展，不是天生這樣的

當前的數學知識是人類文化發展歷史積淀下來的精神財富，經歷了漫長的發展、演化的過程，經過時間長河的篩選，已經相當的完備和精美。但在學生的世界里，他們往往無法感受到數學發展過程的艱辛歷程，認為數學知識就是這樣的，而對數學的精妙感受不深刻。

比如十進制計數法。法國數學家拉普拉斯有一段非常精彩的闡述：用十個符號來表示一切的數，每個符號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種很巧妙的方法來自印度。這是一個非常深遠而又重要的思想，它在今天看來是如此簡單，以至我們忽視了它真正的偉績。但正是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使得我們的算式在一切有用的發明中排列首位。而當我們想到它竟然能夠逃過古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想關注時，我們更加感到這成就的偉大了。

在教學四年級“大數的認識”時，我們可以引導學生思考：十進制計數法從古至今就是這樣的嗎？古人又是怎么計數的呢？我們回顧遠古時候人們使用的石子計數法（如圈養的禽畜放出去一只放一粒石子，回來再用同樣的方法丟掉以檢查。隨著數量增加，又規定數位堆，每一堆相當于10只）、結繩計數法（一個結表示1個，滿10個打一個大結）、算籌計數法，再到后來用算盤計數、位值計算，等等。教師進一步比較、歸納：以上幾種方法雖然形式各不相同，但它們有個共同點就是不同的位置表示不同的數值。

數學十進位制的產生，說明數位順序表是人類經過相當漫長的一段時間探索，歷經無數艱辛，在眾多的計數方法的基礎上漸漸形成的。在這個過程中，學生感受到任何一個數學知識都不是簡單的，都有其復雜的發展過程。這樣有利于學生真正深入地去看待數學知識。

作為數學教師，我們需要讓學生保持一種理性的精神：為什么會有這樣的規定，而不是其他的可能呢？數學規定曾經是什么樣子的呢？讓學生感受到數學知識不是先天預存的一堆“真理”，它是一步步發展形成的，因此，是可以被質疑、可以被變化的。

追問之三：除了數學知識結論，還能給學生什么

【思考】數學知識發展背后的規律及思想就是數學的魅力所在

數學教學中，很多數學學習過程往往都是在教師的“指令”下完成的。學生雖然“經歷”了這一學習過程，但卻對這一切究竟是怎樣發生的毫無感知，也無從感知。當然，學生的數學學習，不同于數學家研究過程的簡單復制，也不是數學發展史的簡單濃縮，數學教師應當敏銳地感受到數學發展中的“內核”，引導學生真實參與數學知識的“創造”“發現”過程。這一學習過程已不只是學生獲得數學知識的工具，其本身就是學習的內容。

比如教學“認識乘法”時，一種教法是：2+2+2+2還可以寫成2×4，你發現2是什么，4是什么？你還能模仿寫出一道這樣的算式嗎？這是簡單的結論形態的數學知識。另一種教法這樣設計：2+2+2+……+2（100個2相加），一口氣讀一讀，你有什么想法？（好長、好累、數不清楚）你能創造一種簡潔的寫法嗎？教師還可以借機介紹乘號的由來：1631年，英國的數學家奧托雷德發明了符號“×”，乘法是由加法而來的，表示幾個相同的數字相加，所以他把“+”斜過來寫成“×”形，既表示了加法與乘法的關系，又表示了相乘的方法。

在這個過程中，學生學到的不只是知識技能，而是數學發展過程中求簡、創新的數學精神。

再比如許多數學教師講過高斯的故事：高斯在少年時做一道算術題：1+2+……+98+99+100=（? ?），高斯迅速算出了正確答案5050。有的教師只是從數學知識的角度介紹可以一組一組地相加，1+100=101，2+99=101……一共有50組，即101×50=5050，甚至還會歸納出“等差數列之和=（首項+尾項）×項數÷2”的結論。其實教師可以從生長形態的角度，關注高斯的數學思維活動過程，引導學生模擬場景：首先，高斯看到這個問題的第一感受是什么呢？高斯可能想：這么長的算式，不能直接一個個相加吧？那也太煩瑣了。接著，高斯會怎么想呢？高斯會想，有沒有簡便的計算方法呢？這說明高斯思維的靈活性。然后，高斯會怎么做呢？他的做法是：觀察這些數字是否有特征？很快，他就發現這些數字依次加1，很有規律。這也說明高斯思維的直覺性和概括性。最后，高斯順利地解決了問題。這樣，學生在聽故事的過程中，感受到高斯思維變化的過程。這是學生最為寶貴的數學文化財富。

通過經歷這樣的學習過程，學生獲得的是知識背后的數學思想方法，是不斷生長的活動經驗，是支持學生發展的心理結構與認知結構，使得數學教學從知識層面躍升到精神層面、認知方法層面，能夠在新情境中自我適應、創生和發展。

總之，數學教學中“既有作為科學的數學，又有作為教育的數學”，具有數學知識深刻理解的數學，教師能夠自覺地自我追問以及引導學生追問：為什么數學規定成這樣？除了這樣，還曾是怎樣的？除了結論，還能提供什么？能夠不斷重溫并強化“簡單而有用”的基本思想與經驗，使得學生在數學學習中能夠獲得智慧的啟蒙、素養的滋潤和生長的力量，重新賦予數學、數學教學應有的魅力！

參考文獻：

[1]顧亞龍.以文“化”人——小學數學文化的育人視界[M].上海：上海教育出版社，2014.

[2]王兆正.向兒童展現數學本身[J].江蘇教育（小學教學版），2011（1）.

（江蘇省蘇州工業園區唯亭實驗小學 215000）