“面積公式推導”教學序列思考與實踐

一、現象檢視與思辨

基本平面圖形面積，課程標準在第一、二學段分別給出了“探索并掌握長（正）方形的面積公式”“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式”“探索并掌握圓的面積公式”的教學目標要求。相應地，國內教材就平面圖形面積公式的教學內容編排分為三個階段：第一階段為長方形面積公式，第二階段為平行四邊形、三角形和梯形面積公式，第三階段為圓的面積公式。其中，第二階段多數教材以“多邊形面積”為單元，涵蓋三種基本圖形面積公式的推導和應用。這一單元的學習，是學生感悟“轉化”等數學思想、積累數學基本活動經驗、落實邏輯推理等學科核心素養的重要載體與關鍵階段。

“多邊形面積”單元編排，國內教材都采用了“平行四邊形的面積—三角形的面積—梯形的面積”公式探索的序列，轉化的基本活動經驗路徑為：先從平行四邊形面積公式推導中形成轉化思路，學會剪拼法（割補為長方形）;再從三角形面積公式推導中重點學會倍拼法（用兩個全等的三角形拼成平行四邊形）;最后重點運用倍拼法推導出梯形面積公式。實際教學表明，這種轉化經驗的學習路徑存在以下缺陷：

推導方法單一，開放度不高。三種圖形的面積公式推導，都只對剪拼法或倍拼法的其中一種方法展開主要探索，方法單一。即使部分教材在三角形面積公式推導中對剪拼法進行了補充介紹，也只是加以了解，側重的依然是倍拼法。

暗示性強，學生自主探索空間不大。在進行平行四邊形、三角形面積公式探索時，教師往往會提供或要求學生自備剪刀、兩個一樣的三角形等學具材料，帶有很強的暗示性，削減了學生自主探索的空間。

轉化方法之間切換跨度大，容易產生認知混亂。跨度之一是平行四邊形轉化為長方形，學生很難自發想到剪拼法，缺乏轉化的心理準備和方法準備。跨度之二是三角形轉化為平行四邊形，學生很難自發從原有經驗的剪拼法向倍拼法轉身。

針對上述缺陷，也不乏相關課例就學習材料、學習路徑改進的研究成果。筆者認為，本單元的面積公式推導，不能局限于單個課例的改進思考，需要基于轉化經驗的激活、形成、應用的序列視角對整個單元教學進行系統分析。

國內教材，一直是把“平行四邊形的面積”作為單元的起始課和轉化推導的種子課，甚至讓我們形成了“必須先教學‘平行四邊形的面積才可以教學‘三角形的面積”的思維定勢。平行四邊形雖然轉化思路起點較低，但轉化方法單一。而三角形面積公式推導要比平行四邊形復雜得多，主要體現在富有較大的挑戰空間和轉化方法的多樣性上。為此，要實現單元面積公式探索空間的進一步開放，理應把“三角形的面積”作為單元起始課和種子課，在第一時間同時激活、提煉剪拼法和倍拼法，為后續其他圖形面積的轉化做好方法準備。

那么，學生對三角形面積公式探索又有多少可行性呢？筆者選取了奉化區某城區小學五年級4個班150名學生，分兩組進行了不同內容和要求的前測。

第一組前測對象為已經學完“平行四邊形的面積”一課的72名學生，要求“限時10分鐘，通過多種方法分別求出方格圖中直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的面積”。統計結果顯示，直角三角形采用剪拼法占比88.9%、倍拼法占比48.6%，銳角三角形采用剪拼法（剪拼為長方形或平行四邊形）占比36.1%、倍拼法占比6.9%，鈍角三角形采用剪拼法和倍拼法均為0。數據一方面表明，在方格圖支持下，近半數學生對直角三角形能夠采用剪拼法、倍拼法兩種方法進行探索;另一方面表明，學生對已有的經驗方法不善于反思提煉和遷移運用，如倍拼法沒能從直角三角形遷移到鈍角三角形和銳角三角形。

第二組前測對象為沒有學習“平行四邊形的面積”一課的78名學生，要求“限時3分鐘，通過多種方法求出方格圖中直角三角形的面積”。統計結果為，采用剪拼法（剪拼為長方形）占比46.2%，采用倍拼法（倍拼為長方形）占比44.9%。這組數據表明，學生對直角三角形轉化經驗儲備較為豐厚，在沒有經歷平行四邊形面積公式推導的背景下，能對直角三角形面積自發產生較強的轉化意識，自發呈現剪拼、倍拼兩種轉化方法。

從前測分析可以得出，單元面積公式推導先從三角形開始探索是可行的。考慮到學生轉化經驗差異和認知跨度，三角形的面積教學建議劃分為“直角三角形的面積”和“一般三角形（銳角三角形和鈍角三角形）的面積”兩課時，前一課時重在激活經驗、提煉方法，為一般三角形的面積探索提供思路與方法;后一課時重在經驗積累、形成方法，為平行四邊形、梯形面積探索提供方法應用與推廣的支持。

需要補充說明的是，韓國教材和臺灣地區教材，面積公式推導序列并非是從平行四邊形開始的，而是先教學“三角形的面積”，再教學“平行四邊形的面積”。這一事實依據也表明面積公式推導序列是動態的，完全可以基于學情進行單元整合，為公式推導提供更大的探索空間。

二、序列重組與定位

序列重組，是指基于整個單元，重新編排課時教學內容，構建單元面積公式推導教學新序列，優化學習路徑，進一步提升面積公式探索的自主性與進階性。重組后的單元教學序列，一方面強調轉化經驗的激活、積累與推廣，另一方面強調轉化方法的提煉、內化與應用。

筆者所在的研究團隊，選取人教版教材進行了單元序列重組。“多邊形面積”整個單元共編排了五個例題，其中前三個例題分別為平行四邊形、三角形和梯形的面積，后兩個例題是組合圖形和不規則圖形的面積。序列重組主要針對前三個例題（例1、例2、例3）與配套的三個練習（練習十九、練習二十、練習二十一）展開討論，后兩個例題及相關練習均保持不變。

教材序列（以下簡稱原序列），前三個例題與配套練習等教學內容一般安排六課時，其中新授、練習各為三課時。序列重組（以下簡稱新序列），保留“平行四邊形的面積”“梯形的面積”課時內容，將原序列“三角形的面積”一課劃分為“直角三角形的面積”和“一般三角形的面積”兩課時，共計新授四課時、練習兩課時，總課時數依然不變。原序列和新序列的具體課時內容對照如表1。

新序列有兩個基本要點：一是剪拼法和倍拼法并重、整體推進，將兩種方法在本單元一以貫之;二是選用學生經驗最為厚實的圖形切入公式探索，降低轉化方法的認知跨度，力求經驗激發的自主性和方法形成的進階性。

在這一思路下，剪拼法、倍拼法兩種轉化方法在學習路徑上表現為“起于特殊，成于一般，應用于同類”，也即在直角三角形中激活經驗、提煉方法，在一般三角形中積累經驗、形成方法，在平行四邊形和梯形中推廣應用、整體溝通。

具體到新序列各個課例的目標定位，簡述如下（表2）。需要指出的是，依然保留的“平行四邊形的面積”“梯形的面積”與原序列相比，課時目標發生了一定變化。“平行四邊形的面積”，除了剪拼法轉化，還擴充了將平行四邊形分割成兩個三角形，以三角形面積公式為基礎，通過“底×高÷2×2”推理得出平行四邊形面積公式。“梯形的面積”，視作多邊形面積問題解決，鼓勵學生充分運用已有面積公式進行多種路徑探索，并通過梯形、平行四邊形、三角形圖形之間的變化關系，溝通三者之間的聯系，進一步形成面積公式推導的整體方法意識。

2.認識剪拼法和倍拼法，初步掌握公式推導的基本步驟與方法，滲透轉化的數學思想方法 一般三角形的面積 1.自主嘗試用剪拼、倍拼方法探索銳角（鈍角）三角形的面積計算公式，歸納得出三角形面積公式，理解公式含義，能利用公式正確計算三角形的面積

2. 進一步積累轉化經驗，理解和掌握“轉化圖形—尋找聯系—推導公式”的基本步驟與方法，初步學會公式推理表達，培養和發展學生的推理能力與空間觀念 三角形的面積練習 1.通過算一算、畫一畫、辨一辨等活動，能比較熟練地運用公式計算三角形的面積，感受高與底的對應性，會解決已知面積與底（高）求出高（底）的實際問題

2.經歷觀察、計算、比較等活動，知道同底等高三角形面積相等，認識等積變形，體會圖形之間的關系 平行四邊形的面積 1.通過切割、剪拼等活動，經歷平行四邊形轉化為長方形、三角形的自主探索過程，理解平行四邊形面積的計算公式并能正確計算

2.培養學生觀察、比較、分析、推理等能力，同時滲透變與不變、轉化等數學思想方法 梯形的面積 1.自主嘗試用不同方法探索梯形面積的計算公式，理解“（上底+下底）×高÷2”的含義，能運用公式計算梯形面積

2.通過梯形與三角形、平行四邊形的比較，體會圖形之間的聯系，進一步培養和發展學生推理能力與空間觀念 平行四邊形和梯形的面積練習 1.溝通三角形、平行四邊形、梯形面積間的關系，深化公式理解;能比較熟練地運用面積公式解決相關實際問題

2.通過圖形的分割、拼組等活動，進一步感知轉化思想，發展空間觀念 ]

三、實驗研究與啟示

（一）實驗基本情況

1.實驗樣本對象

寧波市奉化區兩所城區小學，每所小學各選取五年級兩個平行班，其中一個班為對照班，一個班為實驗班。兩所小學共有對照班兩個，學生78名（原來學業水平合格70名）;實驗班兩個，學生79名（原來學業水平合格73名）。本次實驗只對原來學業水平合格學生的數據進行統計分析。

2.實驗研究方法

以整個單元為研究周期，選派骨干教師分序列教學，對照班采用原序列，實驗班采用新序列。整個單元教學結束后，對照班和實驗班統一進行后測分析。針對不同學業水平等級的學生群體差異，研究中把對照班、實驗班的學生劃分為合格、良好、優秀三個等級，其中合格人數占比15%，良好人數占比40%，優秀人數占比45%。

3.測查內容說明

面積公式推導認知水平測查，分為公式應用、公式推導再現、新圖形面積探究三個維度。公式應用，側重考查面積公式程序運作、公式變式記憶和底高對應記憶水平;公式推導再現，側重考查基本圖形公式含義理解、公式推導說理水平;新圖形面積探究，側重考查新圖形轉化方法的類比遷移水平。

（二）實驗結論與啟示

1.實驗班在公式推導再現維度占據優勢，反映新序列學習轉化的基本活動經驗更為厚實，推理能力得到明顯提升

測查數據顯示，對照班和實驗班在公式應用維度沒有明顯差異，但在公式推導再現維度實驗班存在較大優勢。

測查題中提供了底6高4的三角形，要求學生畫出“6×4”表示的圖形，并給出這個三角形剪拼法轉化的示意圖（圖1），要求學生寫出推導過程。學生推導能力水平劃分為四個層級：水平0，錯誤或沒作答;水平1，只提到將三角形轉化為長方形;水平2，說明三角形的底和長方形的長相等，三角形的高的一半和長方形的寬相等;水平3，完整表達推導說理過程（圖2為學生作品）。

實驗班優勢一，三角形轉化的路徑更為多元。畫出“6×4”表示的圖形，反映的是對三角形倍拼后圖形種類的認知。對照班轉化為平行四邊形占比95.4%，長方形占比4.6%;實驗班轉化為平行四邊形占比62.5%，長方形占比37.5%。實驗班對轉化的兩種圖形選擇更為均衡。實驗班優勢二，三角形剪拼轉化的公式推導說理能力水平更高。推導能力水平3，對照班占比30.0%，實驗班占比57.5%，實驗班優勢明顯，近60%的學生表現了較強的邏輯推理能力。

這兩處優勢，都證實了新序列在公式推導的含義理解、轉化路徑和說理水平方面有更為充分而深刻的體驗，學習路徑得到優化。

2.實驗班在新圖形面積探究維度存在優勢，反映新序列學習發揮了經驗遷移的作用，特別是對低起點的學生產生較為明顯的影響

新圖形面積探究維度，安排了圓的面積公式推導，要求學生畫一畫、寫一寫轉化和推導的想法。探究能力水平劃分為四個層級：水平0，錯誤或沒作答;水平1，只提到轉化為已學圖形，沒有轉化說明或圖示;水平2，給出圓和正方形或三角形進行轉化的圖示，沒有轉化說明或說明不清晰;水平3，給出把圓分割成多個三角形轉化的圖示，并有初步推導思路。對照班和實驗班的整體數據如表3，不同學業水平等級的群體數據如表4。

表3顯示，實驗班在整體上要略優于對照班，在水平0的占比上優勢較為明顯。從表4可以看出，三個等級學生在水平3上占比基本持平;學業水平合格、良好等級的實驗班學生，在水平0～水平2之間有較大幅度提升。分析可知，對于學業水平起點較低的學生，新序列的學習更有利于增強轉化意識，更有利于面積公式推導方法的形成與類比遷移。

參考文獻：

[1] 宋煜陽.基于學情，讓探索真正發生——“三角形的面積”教學思考與實踐[J].教學月刊·小學版（數學），2018（5）：34-38.

（浙江省寧波市奉化區教師進修學校? ?315500）