應用推廣與關系梳理

方巧娟

【課前思考】

在國內教材“多邊形面積”單元中，“平行四邊形的面積”被編排為單元教學的第一課時。研究團隊所構建的單元面積公式推導序列，將“平行四邊形的面積”安排在“三角形的面積”之后，學習路徑發生了較大的變化。那么，這節課的調整在單元教學中有哪些優勢呢？

一、豐富經驗，分散學習難點

“平行四邊形的面積”作為第一課時，轉化時只需思考如何將平行四邊形轉化成長方形，學習經驗單一，而教學難點卻很集中。難點一，面積與周長概念混淆，學生用周長公式求面積;難點二，平行四邊形形似長方形，學生容易混淆鄰邊與長寬的概念，會用鄰邊相乘求面積;難點三，平行四邊形中的底和高沒有顯性呈現，概念需要提示;難點四，底高與長寬對應困難。

安排在“三角形的面積”學習之后，豐富了轉化經驗，開闊了轉化思路，教學難點也得到分散。如面積概念已經清晰，底高概念無須再次提示，轉化成長方形時不再出現錯誤。此時，平行四邊形面積公式推導只需在轉化方法上應用推廣，學生自主探索空間被有效釋放。

二、順應學情，拓寬推導路徑

在教材原編排序列中，“平行四邊形的面積”只積累了剪拼轉化經驗，而到三角形轉化為平行四邊形時，學生很難自發從原有的剪拼法向倍拼法轉變，若順應學生經歷先剪后拼，時間上又不允許。新構建的單元面積公式推導序列，先教學“直角三角形的面積”積累倍拼和剪拼的經驗，在“一般三角形面積”中積累分割轉化的經驗，為平行四邊形面積轉化拓寬路徑。路徑一，通過剪拼法將平行四邊形轉化為長方形進行推導;路徑二，將平行四邊形分割為兩個三角形進行推導。這樣的學習路徑不僅順應了學生的學情，也發展了學生的求異思維和發散思維，還為后續學習梯形的面積和多邊形的面積奠定了方法基礎。

三、練習充裕，騰出教學時空

多邊形面積公式推導序列調整后，“平行四邊形的面積”一課的學習難度明顯降低，學生會比較輕松地推導出平行四邊形的面積公式。這樣，教師就可以節省出更多的時間去展開關系梳理和針對練習等，也為后續的學習做好知識和方法上的準備。

【教學實踐】

一、復習引入，揭示課題

1.回顧長方形和三角形的面積公式。

2.揭示課題：今天這節課我們要繼續來研究“平行四邊形的面積”（板書）。

二、自主轉化，經歷公式的推導

1.回顧面積概念，感知方法。

（1）請學生說說平行四邊形的面積在哪里，要求平行四邊形的面積，有什么辦法？

（2）學生提出轉化方法，轉化成長方形或者兩個三角形。

2.自主探究，初步探究平行四邊形的面積公式。

（1）出示探究單（圖1），請學生畫一畫、寫一寫，獨立探索平行四邊形的面積公式。

（2）反饋兩種轉化方法。

師：說一說，你轉化成了什么圖形？怎么轉化的？

生：我把平行四邊形轉化成了長方形，沿高剪下一個直角三角形，移拼變成了一個長方形。

師：沿高剪拼轉化成功，還能沿著其他的高來剪嗎？

生：可以沿著任意高進行剪拼。

學生作品補充，小結：也就是說我們只要沿著平行四邊形的高將其剪成兩部分，就能拼成一個長方形。

師：還有其他轉化方法嗎？

生：我把平行四邊形轉化成了兩個三角形，只要斜著對折分割開就可以了。

3.溝通交流，完成面積的推導。

（1）溝通長方形面積與平行四邊形面積，推導出平行四邊形面積公式。

指名學生邊投影邊說理：平行四邊形的面積相當于長方形的面積，長方形的面積等于長乘寬，長相當于平行四邊形的底，寬相當于平行四邊形的高，所以平行四邊形的面積=底×高。

（2）溝通三角形面積與平行四邊形面積，推導出平行四邊形面積公式。

指名學生邊投影邊說理：平行四邊形轉化成兩個面積相等的三角形，我們發現三角形的底就是平行四邊形的底，三角形的高就是平行四邊形的高，因為三角形面積等于“底×高÷2”，所以平行四邊形的面積等于“底×高÷2×2”，也就是“底×高”。

4.加深理解，得出結論。

結合課件動態演示兩種轉化過程，并跟進小結：同學們看，雖然兩種轉化的方法不同，但轉化后的面積都不變。通過溝通，我們發現“平行四邊形的面積=底×高”，用字母表示是“S=a×h”。

三、鞏固內化

1.計算下面的平行四邊形面積。

2.選一選。

（1）下面平行四邊形面積正確列式的是（? ? ? ）。

A.12×10? ?B.12×15? ?C.8×15? ?D.8×10

①指名學生選出正確答案，說一說，你是怎么想的？

②指出求平行四邊形的面積時要用對應的底和高。

③想象平行四邊形如何轉化成對應的長方形，并動態呈現。

（2）下面的圖形中，（? ? ? ? ?）的面積最大。

A.第一個圖形? ? ? ? B.第二個圖形

C.第三個圖形? ? ? ? D.三個圖形一樣大

追問：為什么它們的面積都相等？

生：這兩個平行四邊形都能轉化成底8高5的長方形。等底等高的平行四邊形，面積相等。

討論：都是四邊形，為什么長方形的面積可以用鄰邊相乘，而平行四邊形的面積卻不能用鄰邊相乘？

生：長方形的四個角都是直角，所以長方形的邊就是高，也就是說長方形的邊和高重疊在一起了。

小結：因為長方形是特殊的平行四邊形，長方形的寬就是它的高，所以長方形的面積可以鄰邊相乘，“長×寬”實際上就是“底×高”。

3.畫一畫。

你能畫出和下面平行四邊形面積一樣的平行四邊形嗎？

反饋交流呈現學生的不同作品，并呈現學生的特殊平行四邊形（圖2）。

討論：特殊平行四邊形，你喜歡怎樣轉化？它能轉化成長方形嗎？怎么轉化？

四、課堂小結（略）

【教學反思】

實踐表明，學生充分調用了三角形面積學習經驗，有效達成了本課在面積公式推導序列中“推廣應用，關系梳理”的目標定位。主要反映為以下三點。

一、達成自主轉化，實現應用推廣

本節課，學生思考的是如何將平行四邊形轉化成已知圖形，所以會自主呈現剪拼轉化成長方形和分割轉化成三角形兩種路徑，規避了拉成長方形的這種錯誤轉化。但從兩種推導路徑的選擇來看，學生有一定差異。兩個教學班80名學生，平行四邊形轉化路徑選擇數據見表1。將平行四邊形轉化為長方形略多于將平行四邊形轉化成兩個三角形。從轉化前后圖形之間聯系和公式推導難度來看，兩種路徑各有優勢。長方形，學生更為熟悉，面積計算方法也比較簡單，但轉化中長寬和底高的對應難度更大一些;三角形面積計算方法略顯復雜，但轉化中面積公式推導更為簡單。不管學生選擇哪一種方法，都是在自主思考下順利完成的，實現了應用推廣。

二、特殊圖形補充，突破難點認知

學生接觸最多的是夾角為50°到70°之間的一般平行四邊形，他們很難自主呈現特殊的平行四邊形。為了讓學生自主呈現特殊的平行四邊形，教學中教師設計了在一組平行線中畫一個和原平行四邊形面積一樣的平行四邊形。通過動手畫一畫，學生發現只要等底等高，那么任何平行四邊形的面積都是相等的，并呈現特殊的平行四邊形。此時讓學生再次進行面積推導回顧，既是鞏固內化，又是難點突破。學生會呈現另一邊剪拼或是三角形分割的方法，通過“你喜歡哪種推導方式”的追問，這一次數據（表2）出現了反轉。

顯然，當學生在轉化中遇見困難或復雜情形時，會選擇更為簡單的方法。對于特殊的平行四邊形，沿高剪拼對學生的想象和操作有一定難度，而三角形分割方法的使用使得學生在任務操作上有了選擇的余地，也為后續多邊形面積求法中分割成任意個三角形做好鋪墊。這凸顯三角形作為面積教學基本圖形的地位。

三、加強溝通聯系，完成關系梳理

本課學習學生自主轉化并不難，難的是溝通聯系。教學中，轉化圖形與平行四邊形的公式推導做了多次溝通和聯系。比如，長方形的長寬與平行四邊形的底高做溝通聯系，兩個三角形的面積和一個平行四邊形的面積做溝通推導。同時，加強了平行四邊形和長方形的面積公式關系溝通梳理，通過對“為什么長方形的面積可以用鄰邊相乘”的思辨，學生明晰了平行四邊形面積公式的推導過程，感知圖形之間一般與特殊的關系，真正內化和理解了面積公式推導的原理。

（浙江省寧波市奉化區岳林中心小學? ?315500）