經(jīng)驗(yàn)激活與方法提煉

宋煜陽 鄔盼盼

【課前思考】

國內(nèi)教材把“平行四邊形的面積”作為“多邊形面積”這一單元的起始課，轉(zhuǎn)化方法只涉及剪拼法，不能幫助學(xué)生積累倍拼法的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在后續(xù)“三角形的面積”學(xué)習(xí)中出現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)斷層。將“直角三角形的面積”作為單元面積公式序列的起始課，主要基于直角三角形的特殊性，能激活學(xué)生將直角三角形轉(zhuǎn)化為長方形的自發(fā)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)提煉出剪拼法（沿著與直角邊平行的中位線剪拼為長方形）和倍拼法（用兩個(gè)全等的直角三角形合拼為長方形），幫助學(xué)生積累必要的學(xué)習(xí)多邊形面積的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、明確任務(wù)，嘗試自主探究

呈現(xiàn)圖1，給出信息：每個(gè)小正方形的邊長表示1 厘米，這個(gè)直角三角形的面積是（? ?）平方厘米。

師：你用哪些方法得到直角三角形面積？把你的想法畫一畫、寫一寫、算一算。完成一種后思考第二種。

學(xué)生在練習(xí)紙上獨(dú)立探索，教師巡視、選擇學(xué)生典型作品。

二、反饋交流，奠定轉(zhuǎn)化意識(shí)

呈現(xiàn)數(shù)格子作品，學(xué)生介紹方法：先數(shù)整格的有6格，再數(shù)半格的有4個(gè)，合起來是8平方厘米。

呈現(xiàn)圖2，互動(dòng)解讀方法。

生：這個(gè)方法是在旁邊補(bǔ)上一個(gè)一樣的直角三角形，讓它變成正方形，正方形的面積是4×4=16平方厘米，直角三角形的面積就是把正方形面積除以2，是8平方厘米。

師追問：正方形是特殊的長方形，為了方便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們把它稱為長方形，你是怎么想到把直角三角形變成長方形的？

生：因?yàn)殚L方形的面積計(jì)算我們以前已學(xué)過了。

師：把未學(xué)的新知轉(zhuǎn)化成原來學(xué)過的舊知，這種方法稱為轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上經(jīng)常要用到。長方形的面積怎么計(jì)算？長、寬分別是直角三角形的哪一部分呢？根據(jù)長方形的面積公式，你認(rèn)為直角三角形的面積計(jì)算公式是怎樣的呢？

生：底×高÷2。

師：你們是怎么想的？為什么要除以2？

生：因?yàn)殚L方形的長相當(dāng)于直角三角形的底，寬相當(dāng)于它的高，面積是它的2倍，所以還要除以2。

師：你們不但會(huì)算，還通過長方形和直角三角形之間的聯(lián)系推導(dǎo)出直角三角形的面積計(jì)算公式。

師（呈現(xiàn)圖3）：這幅作品，你能看懂嗎？

生：這種方法是從直角三角形高一半的地方剪下一個(gè)小三角形拼成長方形，這個(gè)長方形的長是4厘米、寬是2厘米，所以面積是8平方厘米。

請學(xué)生現(xiàn)場實(shí)物演示剪拼方法。

師：看懂了嗎？我們回到圖中再來看一看，這個(gè)長方形面積是怎么計(jì)算的？長、寬又分別是直角三角形的哪一部分？

生：長方形的長就是直角三角形的底，它的寬是直角三角形高的一半，所以直角三角形的面積是“底×（高÷2）”。

師：為什么要除以2？

生：因?yàn)楦叩囊话胂喈?dāng)于長方形的寬。

師（呈現(xiàn)圖4）：這幅作品也剪拼成了一個(gè)長方形，你能看懂嗎？

生：從直角三角形底一半的地方剪下一個(gè)小三角形，再拼成一個(gè)長方形。

師：這個(gè)長方形的長、寬分別是直角三角形的哪一部分？

生：長方形的長就是直角三角形的高，它的寬是直角三角形底的一半，所以直角三角形的面積是“底÷2×高”。

師：這里的除以2表示什么意思？

生：直角三角形底的一半相當(dāng)于長方形的寬。

三、歸類比較，提煉轉(zhuǎn)化方法

師：這三種方法都把直角三角形轉(zhuǎn)化為長方形，根據(jù)它們變化的特點(diǎn)，你能把這三種方法分分類嗎？

生：第一種方法把直角三角形的面積變成了原來的2倍，分為一類;而第二、三種方法只是改變了它的形狀，面積卻沒有變，可以歸為一類。

師：你說出了這三種方法之間的本質(zhì)區(qū)別。是的，我們把第一種方法稱為倍拼法，而第二、三種方法稱為剪拼法。

四、嘗試應(yīng)用，梳理推導(dǎo)方法

師：這里還有一個(gè)直角三角形（呈現(xiàn)圖5），它也能用剪拼法、倍拼法轉(zhuǎn)化為長方形嗎？請?jiān)趯W(xué)習(xí)單上畫一畫、寫一寫轉(zhuǎn)化的過程。

（1）學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視。

（2）交流反饋。

師：說一說，你用了什么方法來計(jì)算這個(gè)直角三角形的面積。

生1（結(jié)合作品圖6介紹）：我用的是倍拼法，補(bǔ)了個(gè)同樣的直角三角形拼成長方形，它的底就是長方形的長，高就是長方形的寬，面積是長方形的一半，所以6×2÷2=6平方厘米。

生2（結(jié)合作品圖7介紹）：我用的是剪拼法，沿著直角三角形的高剪下一個(gè)小三角形，拼成長方形，它的底就是長方形的長，高的一半就是長方形的寬，所以面積是6×（2÷2）=6平方厘米。

生3（結(jié)合作品圖8介紹）：我用的也是剪拼法，我是沿著直角三角形的底剪的，底的一半就是長方形的長，高就是長方形的寬，所以面積是6÷2×2=6平方厘米。

師：剛才同學(xué)們推導(dǎo)出的直角三角形的面積計(jì)算方法有“底×高÷2”“底×（高÷2）”“底÷2×高”，這里都有除以2，意思一樣嗎？

生：不一樣。第一個(gè)除以2表示長方形面積的一半，第二個(gè)表示高的一半，第三個(gè)表示底的一半。

師：是的。采用倍拼法轉(zhuǎn)化為長方形，面積是直角三角形面積的2倍;采用剪拼法轉(zhuǎn)化為長方形，面積是不變的。三種計(jì)算方法雖然運(yùn)算順序不同，但結(jié)果相同。

五、推廣應(yīng)用，提煉形成公式

師：只憑兩個(gè)直角三角形，能得出“底×高÷2”這個(gè)計(jì)算公式嗎？還需要研究其他直角三角形嗎？

學(xué)生有的認(rèn)為要，有的認(rèn)為不要，意見不一。

師（呈現(xiàn)圖9）：想一想，這兩個(gè)直角三角形也能用“底×高÷2”這個(gè)面積公式來計(jì)算嗎？你是怎么想的？

生：可以的。我用倍拼法，把它們變成長方形，這個(gè)長方形的長一定就是直角三角形的底，它的寬就是高，再除以2就是直角三角形的面積，所以也是可以用這個(gè)公式的。

生：我覺得不需要再驗(yàn)證其他直角三角形了，因?yàn)樗兄苯侨切慰隙ǘ伎梢酝ㄟ^倍拼變成長方形，或者通過剪拼變成長方形，都可以推導(dǎo)出底×高÷2這個(gè)面積公式。

學(xué)生紛紛表示同意。

六、理解運(yùn)用，鞏固面積公式

學(xué)習(xí)單提供圖10，要求列式計(jì)算直角三角形面積，并畫一畫轉(zhuǎn)化后的長方形。

結(jié)合學(xué)生作品進(jìn)行反饋交流，請學(xué)生想一想如果算式是“8÷2×6”，是怎樣剪拼的？如果算式是“8×（6÷2）”，又是怎樣剪拼的？

（學(xué)生反饋略）

【教學(xué)反思】

通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，將“直角三角形的面積”作為單元面積公式推導(dǎo)序列的起始課，有效增進(jìn)了學(xué)生的自主探索空間，激活了學(xué)生多元的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累了豐富的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，是一次成功的嘗試。

首先，直角三角形的特殊結(jié)構(gòu)，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的自發(fā)經(jīng)驗(yàn)。這一教學(xué)設(shè)計(jì)我們分別在城區(qū)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校進(jìn)行了實(shí)施，發(fā)現(xiàn)能想到倍拼法和剪拼法的學(xué)生達(dá)到了50%左右。說明將帶有格子圖的直角三角形作為學(xué)習(xí)材料，能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的自發(fā)經(jīng)驗(yàn)，教師再根據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)順勢提煉總結(jié)方法，為正確掌握倍拼法和剪拼法打下了良好的基礎(chǔ)，充分證實(shí)了多邊形面積學(xué)習(xí)從學(xué)生經(jīng)驗(yàn)最為豐厚的直角三角形介入的正確性。

其次，將“直角三角形的面積”作為起始課，有助于學(xué)生對(duì)公式含義的理解。教學(xué)中依據(jù)不同的轉(zhuǎn)化方法出現(xiàn)了“底×高÷2”“底×（高÷2）”“底÷2×高”三種不同的表達(dá)方式，學(xué)生在結(jié)合圖式溝通意義的過程中，對(duì)“÷2”所表達(dá)的不同含義有了深入的理解，促進(jìn)了對(duì)面積公式意義的建構(gòu)。

最后，直角三角形的推理經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生建立從特殊到一般的序列經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)推理的嚴(yán)密性。在推導(dǎo)直角三角形面積公式的過程中，從幾個(gè)特定的直角三角形到每個(gè)直角三角形，都可以通過倍拼、剪拼轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的長方形，得出面積都可以用底乘高除以2來計(jì)算的結(jié)論，從不完全歸納推理得出公式到更一般層面的推理說明，確認(rèn)公式具有一般性，可以幫助學(xué)生建立面積公式推導(dǎo)的序列經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)一般三角形的面積奠定基礎(chǔ)。

同時(shí)，由于直角三角形的特殊性，無論是銳角三角形還是鈍角三角形，都可以通過作高分割為兩個(gè)直角三角形，直角三角形的面積公式成為一般三角形的面積公式探究的重要基礎(chǔ)。實(shí)踐表明，將“直角三角形的面積”作為“多邊形的面積”單元的種子課是合理可行的。

（浙江省寧波市奉化區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校? ?315500浙江省寧波市奉化龍津?qū)嶒?yàn)學(xué)校? ?315500）