如何從“冷飯”到“營養餐”

陳小燕

【摘 要】新課標從實驗稿到2011版，在“統計與概率”部分的調整包括容量減少和難度降低，與拉長和增加統計的學習，可能性即概率知識的學習，僅僅安排了一次學習。這部分內容該如何復習？豐富素材網羅多種概率模型，積累活動經驗，加強數據分析方法的指導，只有指向學科素養的教學才具有生命力。

【關鍵詞】實驗;體驗;數據分析

雖然幾年沒教六年級了，這學期卻有幸思考了六年級的一節“可能性”的復習課。備課時所見的僅僅是蘇教版六年級教材中的一頁復習內容，追溯蘇教版的教學內容，僅僅在四年級上冊進行過一次小單元的教學。不禁思考，僅教過一次，復習是否是將那盤新授的“冷飯”炒炒就好？答案顯然是否定的，從四年級到六年級，學生已經逐步形成了抽象思維，思維水平不同，對知識應當有更深刻的認識和理解。同時，六年級的復習是對整個小學階段數學學習的一個總結，同時也即將開啟第三學段數學的學習，具有承前啟后的作用。所以，我們需要站在更高的角度進行思考。仔細閱讀那一頁的復習內容：前兩題是基礎練習，復習簡單隨機事件的特點，通過列舉判斷簡單隨機事件發生的可能性的大小;第三題則是綜合運用可能性的知識解決實際問題;第四題則一反常序由摸球結果倒推球的組成，意在感受簡單隨機事件發生的可能性與事件發生頻率之間的聯系。不難窺見復習思路：基礎—應用—深化，正如教材只是一個例子，不同的人有不同的理解，教無定法，針對同樣的教學內容，我們需要充分發揮復習效用，將一盤冷飯變成營養餐呢？筆者有了如下的思考。

一、豐富素材——將“冷飯”炒熱

小學階段的數學教學，要通過重復試驗讓學生估計隨機事件發生的可能性大小。教材中，無論是蘇教版、浙教版還是北師大版，盡管編排不同，但都涉及了拋硬幣、擲骰子、摸球、玩轉盤等多種實驗素材。這些不同的實驗素材，其實屬于不同的概率模型，其中轉盤屬于幾何概型，其余屬于古典概型。幾何概型是連續的，可以分為無限等份，能形象直觀地幫助學生理解可能性的大小;古典概型則可能結果有限，是較為具體的模型。但這兩種模型都屬于理論概率模型，它們出現的可能性相等。其中，拋硬幣是結果最為簡單的等可能性模型，所以，比賽選場地常用這類簡單方便的方法。

但是，僅僅這樣的概率模型并不夠，生活中仍存在很多非等可能性的隨機事件，而這樣事件可能性的大小更依賴與對實驗數據的統計。對比蘇教版、浙教版、北師大三個版本，北師大版中有所體現，具體的有拋啤酒瓶蓋、天氣情況預測等。由于等可能性事件的結論較為明顯，經常讓學生失去實驗興趣;非等可能性事件對實驗的依賴，能幫助學生更好地理解隨機性。同時，對于可能性的判斷原自統計數據的分析，更能體現統計與概率二者之間的緊密關系。

不同的概率模型對學生理解可能性具有不同的幫助，豐富的素材網羅了多種概率模型，能幫助學生夯實基礎。

二、讓定性飛一會兒——將“冷飯”炒熟

新課標從實驗稿到2011版，在“統計與概率”部分的調整包括容量減少和難度降低，與拉長和增加統計的學習，如扇形統計圖的學習更為具體，卻減少了可能性即概率知識的學習，僅安排了一次學習。隨機思想是概率教學的核心，正所謂離開了隨機，就談不上概率。中科院院士陳希孺先生認為：統計學是有關收集和分析帶隨機性誤差的數據的科學和藝術。統計并非一成不變，應滲透隨機性，感受不確定事物遠遠多于確定事物，接納不確定性的存在。隨機思想的滲透應當貫穿于整個“統計與概率”部分，不僅在可能性的那一次學習時，同樣，隨機思想也是溝通統計和概率的橋梁。

六年級學生在學習了分數百分數后，對可能性大小的表示能述諸于數，能簡單地用0、100%表示極端可能情況，理解可能性大小處于極端之中;即使不作定性要求，部分學生也能用分數表示可能性的大小。但蘇教版教材對可能性的大小僅限定性描述而不要求定量表示，則是要拉長對隨機性的體驗。因為不管可能性是大是小，一切皆有可能，在于結果的不確定性，學習的難點則在于對隨機性的理解。隨機性至少應該包括兩個方面：（1）單一事件的不確定性和不可預見性;（2）事件在經歷多次重復實驗中所表現出的規律性。看似簡單，認可卻很困難。即使是一些教師，沒有接受隨機思想，在課堂實驗中出現“意外”時，也總是手足無措。

可能性的大小，具體是多少可以緩一緩，過早定量看似進入了更高階的概率學習，實質是縮短了學生對隨機思想理解、內化的過程。讓定性飛一會兒，讓學生親臨隨機環境，親自試驗和收集隨機數據，經歷統計過程，從而豐富對隨機現象的認識，積累大量的活動經驗，體會隨機思想，讓隨機思想煸熟我們的冷飯。

三、指向學科素養——將“冷飯”炒香

數據分析作為數學學科素養的重要方面，在小學數學教學中也有所體現。數據分析觀念包含三類思想：（1）整體思想：從整體上觀察、研究和把握數據;（2）隨機思想：認識不確定性的普遍存在，通過偶然發現必然;（3）相對思想：任何結論都相對于一定的條件，統計的方法沒有對與錯，只有好與不好。《課標（2011版）》將“統計觀念”修改為“數據分析觀念”，增補了對隨機思想的要求：通過數據分析體驗隨機性，一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能不同，另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發現規律。因此，在可能性的教學中，在實施概率實驗和感悟隨機性的同時，應注重對上述三類思想的滲透，從而提升學生的數據分析素養。

蘇教版教材重視數據的分析和推測，四年級上冊“可能性”單元最后部分的“動手做”，即是由實驗結果推測球的組成的活動。在六年級可能性復習的第4題，則是升級版，將兩色球換成了三種花色的撲克牌。但是，由于同一副牌中每張牌都有區別，所以盡管花色不同，但同花色的撲克牌由于數不同，也有差別，所以看似三類的不同組合，其實是6個單一個體，所以，多次實驗結果后，學生記住出現過的撲克牌，推測反而變得簡單了。于是，復習中還是將撲克牌換成了三種不同的顏色的球共6個，讓學生更多關注實驗的整體數據，而不僅是每次出現的具體情況，通過有限次（30次）的實驗來推測球的組成。

應當說這樣的推測活動非常必要，生活中很多隨機事件，例如，拋瓶蓋和天氣預測，沒有準確的計算結果，只能通過大量的數據得到隨機事件出現的頻率去估計概率，這樣的推測活動具有重要的現實意義。但是，學生的數據分析水平如何呢？筆者進行了上述實驗。

由于課堂時間所限，筆者僅安排了兩類組成，共16組：第1-8組，袋中有籃球2個、白球2個、紅球2個;第9-16組，袋中有籃球1個、白球1個、紅球4個。每組進行30次有放回的摸球，推測袋中球的組成。16組的活動數據如下：

1-8組中推測正確的有3組，占37.5%;9-16組中推測正確的有1組，占12.5%。仔細分析推測錯誤的數據，有摸球結果隨機性導致推測困難的原因，也有數據分析不得法，導致推測錯誤的原因。例如，4、5、6組摸球結果相同，但是第6組卻推測錯誤，是因為使用了相差法，同時也體現了該組同學對隨機性認識不足。從整體16組來看，相對于用比來解釋數據的關系，更多小組傾向于用相差關系分析數據，這也是目前大部分學生的數據分析水平。所以，教學中教師需加強對學生數據分析方法的指導，只有指向學科素養的教學才具有生命力，才能讓這盤冷飯既香又有營養。

縱觀數學史，統計學是一門古老的學問，迄今已有2300多年的歷史，而概率論則是一門新興科學，至今還不到400年。人類的發展尚需孕育這么多年，個體的成長總與歷史相像，所以，“可能性”復習內容雖少尤多，需要教師在教學中更有意識地滲透，幫助學生跨越這漫長的歷史發展過程，更深入地接納概率知識。

【參考文獻】

[1]陳希孺.機會的數學[M].北京：清華大學出版社，2000：60