解析化思想和創(chuàng)新思維在二元一次不等式（組）中的應(yīng)用
——教學(xué)中的一點感悟

☉甘肅省靖遠縣第二中學(xué) 郭眾民

二元一次不等式（組）的求解思路是理解二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系，借助幾何直觀來解決簡單的線性規(guī)劃問題，它是高中數(shù)學(xué)課程中的難點和重點.若想很好地掌握這部分內(nèi)容，則學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)技巧是關(guān)鍵.在教育教學(xué)實踐中筆者講授二元一次不等式（組）Ax+By+C＞0（或＜0），（A2+B2≠0）在平面直角坐標(biāo)系中表示的平面區(qū)域的判別方法時，在教材人教版必修5中給出的是“直線定邊界，特殊點定區(qū)域”的方法來學(xué)習(xí)和處理這部分內(nèi)容.一種方法是：取原點（0，0）代入不等式（組）來判斷不等式（組）是否成立來確定不等式（組）表示的平面區(qū)域，而當(dāng)直線過坐標(biāo)原點時再取點進行判斷；另一種方法是：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）對于在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點（x，y），把它們的坐標(biāo)（x，y）代入Ax+By+C，所得實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點（x0，y0），然后從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C＞0表示在直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特別的，當(dāng)C≠0時，常把原點作為此特殊點）.

雖然這些方法是最基本的方法，但筆者感覺這種方法在教材中不夠簡單且不易掌握，學(xué)生學(xué)習(xí)起來特別困難.筆者在有關(guān)資料中還看到有一種由直線的一般式方程的系數(shù)特征判斷直線位置關(guān)系的方法，類比可得到由二元一次不等式（組）Ax+By+C＞0的系數(shù)特征（A，B的符號特征），來確定二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）所表示的平面區(qū)域，例如：

若：A＞0，B＞0，筆者感覺用二元一次不等式Ax+By+C＞0來表示直線Ax+By+C=0右上方的平面區(qū)域的方法仍沒有體現(xiàn)出解析化思想和創(chuàng)新思維，筆者在教學(xué)過程中思考由直線方程Ax+By+C=0的一般式所得不等式中的變量x的取值范圍能否判斷二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）所表示的平面區(qū)域？筆者結(jié)合一元一次方程和一元一次不等式的解集的求法來研究這個問題，把二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）中的兩個未知量中的一個設(shè)為零（例如y），這樣就變?yōu)橐辉淮尾坏仁剑俑鶕?jù)未知量的取值判斷其所表示的平面區(qū)域，通過多次實踐和總結(jié)來發(fā)現(xiàn)這是一種易于記憶，便于應(yīng)用的簡易方法，下面筆者就對這種方法做一介紹，與各位同仁商榷.

一、特殊情形

（1）若A=0，B≠0，則By+C＞0（或＜0）可化為從而表示直線By+C=0的上方或下方的平面區(qū)域，如圖1或圖2.

圖1

圖2

（2）若A≠0，B=0，則Ax+C＞0（或＜0）可化為從而表示直線Ax+C=0的右側(cè)或左側(cè)的平面區(qū)域，如圖3或圖4.

圖3

圖4

由直線Ax+By+C=0求出直線的斜率然后判斷斜率的符號，直線的斜率大于零或小于零在直角坐標(biāo)

二、一般情形（A≠0，且B≠0）

系里有兩種位置，如圖5或圖6，

圖5

圖6

1.當(dāng)k＞0時，

（1）在圖5中的直線構(gòu)成的不等式Ax+By+C＞0中，令y=0，當(dāng)A＞0時得，則區(qū)間都在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以Ax+By+C＞0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的右下方的區(qū)域，如圖7；當(dāng)A＜0時得x＜則區(qū)間都在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以Ax+By+C＞0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的左上方的區(qū)域，如圖8.

圖7

圖8

（2）在圖5中的直線構(gòu)成的不等式Ax+By+C＜0中，令y=0，當(dāng)A＞0時得則區(qū)間都在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以Ax+By+C＜0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的左上方的區(qū)域，如圖8；當(dāng)A＜0時得則區(qū)間都在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以Ax+By+C＜0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的右下方的區(qū)域，如圖7.

2.當(dāng)k＜0時，

（1）在圖6中的直線構(gòu)成的不等式Ax+By+C＞0中，令y=0，當(dāng)A＞0時得，則區(qū)間都在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以Ax+By+C＞0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的右上方的區(qū)域，如圖9；當(dāng)A＜0時得x＜則區(qū)間都在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以Ax+By+C＞0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的左下方的區(qū)域，如圖10.

（2）在圖6中的直線構(gòu)成的不等式Ax+By+C＜0中，令y=0，當(dāng)A＞0時得則區(qū)間都在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以Ax+By+C＜0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的左下方的區(qū)域，如圖10；當(dāng)A＜0時得則區(qū)間都在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以Ax+By+C＜0表示的平面區(qū)域是直線Ax+By+C=0的右上方的區(qū)域，如圖9.

圖9

圖10

解：先畫出直線x-y+5=0，在不等式x-y+5≥0中令y=0得x≥-5，可得x-y+5≥0所表示的平面區(qū)域是直線x-y+5=0的右下方的半平面，再畫直線x+y=0，在不等式x+y≥0中令y=0，得x≥0，可得x+y≥0所表示的平面區(qū)域是直線x+y=0的右上方的半平面，然后畫出特殊的不等式x≤3的半平面，則以上三個不等式的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域.如圖11.筆者感到運用這種方法解此類問題可以既簡單又準(zhǔn)確地求出二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域.

圖11

筆者在課堂教學(xué)中通過實踐和多次嘗試得到這種求二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域是一種比較合理實用且便于記憶的方法，尤其是在線性規(guī)劃求最值時，運用這種方法可以簡便快捷地畫出其可行域.隨著新課程改革的不斷深入，解析化思想在學(xué)生學(xué)習(xí)中起著十分重要的作用，在學(xué)生對解析化思想的掌握上需要重視其對基礎(chǔ)知識的牢固掌握，在課堂教學(xué)中對解析化思想的滲透要靈活，以啟迪學(xué)生的創(chuàng)新思維.F