基于變式引申的高中數學探究式教學研究

☉福建省福清華僑中學 俞文銳

在傳統的高中數學教學中，為了使學生對數學思想、數學問題的認識和理解統一到基本理論和概念上來，往往將廣闊的思路聚焦到同一個焦點上來，然而，這種教學模式很難產生創新性的思想，也會使學生一味地迷信教師、專家、教材等權威，致使學生長期束縛在被動接受、模仿訓練等局面上.而基于變式引申的探究式教學則高度重視教材中的每個習題，更加注重學生的發散性思維的發展，鼓勵學生通過變式來不斷理解并拓展知識，有效地擺脫了思維定式的制約.

一、引入形成變式探究

為了促進知識的遷移，進而建立新舊知識之間的鏈接，教師應在知識引入時，引導學生從已有的認知結構出發，按照最近發展區理論，充分利用多媒體來展示日常生活中的直觀材料，讓學生以小組的形式參與探究概念的本質.例如，在講解異面直線的概念時，筆者運用投影儀向學生呈現了日常生活中的茶幾、桌椅等直觀材料，并將直觀現象的實物圖形通過圖形變式，來幫助學生理解異面直線的具體特征.

圖1 異面直線變式圖

二、辨析論證變式探究

為了達到通過觀察變化的現象來透析數學知識的實質的目的，教師應引導學生對所呈現的數學命題實施觀察與思考，鼓勵學生通過轉換觀察和思考方式，對命題的內涵和外延進行變式，并組織學生再次進行推導與證明，多角度、多方位、多層次的透徹理解概念，達到培養思維深刻性的目的，值得說明的是，在具體實踐中，不能急于應用知識去解答問題.例如，在學習棱柱定義后，筆者及時展示了直棱柱、斜棱柱、正棱柱、長方體、正方體等與棱柱相關的概念，同時要求學生總結出長方體、正四棱柱等一系列平行六面體的特點，并在以下相應的橫線上增添圖形變化要求，進一步了解以下棱柱之間的相互變化關系.

圖2 幾種棱柱關系圖

三、鞏固應用變式探究

為了使學生不再停留在原有的表面現象和所學知識上，教師應將所學知識運用到新的變式問題情境之中，充分利用其本質來解答問題，有效地開拓學生的視野.例如，在學習完判斷奇偶性的定義后，筆者及時呈現了以下三個變式，要求學生在相互探究的基礎上完成以下題目：

變式1：請判斷下列函數的奇偶性.

設置目的：設置以上三個特殊函數，有效鞏固學生運用定義判斷函數奇偶性的知識.

變式2：以下說法正確嗎？請說明你的判斷理由.

①若f（x）的圖像關于y軸對稱，則f（x）一定是偶函數.

②若f（x）是偶函數，則f（x）的定義域一定關于坐標原點對稱.

③若f（x）的定義域關于坐標原點對稱，則f（x）一定是偶函數.

設置目的：變具體函數為抽象函數，深刻體會從特殊到一般的思想.

變式3：請根據圖形解題.

①偶函數y=f（x）的局部圖像如圖3所示，則f（-4）等于多少？

②偶函數y=f（x）的局部圖像如圖4所示，請判斷f（1）與f（3）之間的大小關系.

圖3

圖4

設置目的：根據奇偶性的性質來逆向求解函數值，有效地開拓學生的視野，達到舉一反三、觸類旁通的目的.

四、變式訓練探究

為了讓學生從不同角度分析問題，深入認識并體會數學思想，教師應在日常教學中，采用一題多解、一題多變和一法多用三種變式進行變式訓練.其中一題多解就是運用發散思維對同一道數學題采用不同的解題思路進行解題，有目的、有計劃地將某個問題轉化為其他問題，并不斷總結和提煉不同的解決方法.例如，如圖5所示，用5種顏色在圖中4塊空白位置染色，要求同一條邊兩側顏色不同，試求共有多少種方案.

圖5

解析：對于該題，可以采用分類的方法進行解題，即先按照顏色進行分類，再進行分步填充，也可以采用分步的方法進行解題，即先按A、D顏色相同或不同進行分類，再分步解決問題.但總的來說，全部都是應用計數原理來解決計數問題.

一題多變就是將題目中的已知條件交換，使一道題目變成一類題目，從而有效地培養學生的獨創思維.

例如，已知△ABC兩個頂點分別為點A（0，5），點B（0，-5），其余兩邊斜率的乘積為則求點C的軌跡方程.

在上述例題的基礎上，筆者以例題中涉及的知識實質為依據，多角度且多層次地設置了如下變式題目.

變式1：已知兩點的坐標分別為（0，-b）和（0，b），平面內一點C分別連接以上兩點，且連接后所形成的相交直線的斜率之積為，求平面內點C所形成的軌跡方程.

變式2：若兩點的坐標分別為（-a，0）和（a，0），其他條件同上，求點C所形成的軌跡方程.

變式3：已知M、N為雙曲線上的兩點，O為原點，P為MN的中點，求證：kMNkPO為定值.

一法多用就是解題的思路和方式是相同的，但題目本身可能相差很大，或者甚至一點聯系都沒有.

例如，如圖6所示，在三棱錐S-ABC中，已知點D、E、F分別位于AC、BC、SC的中點，求證：平面DEF∥平面SAB.

在上述例題的基礎上，筆者以證明面面平行的基本思路為依據，應用三角形的中位線和面面平行的判定定理設置了如下變式題目.

變式1：如圖7所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P為DD1的中點，設Q是CC1上的點.試求當點Q位于什么位置時，才能使平面PAO∥平面D1BQ.

變式2：如圖8所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、S分別是BC、DC、SC、B1D1的中點，求證：平面BB1DD1∥平面EFG.

圖6

圖7

圖8

總之，與傳統的教學模式相比，基于變式引申的探究對廣大教育者提出了更加嚴格的要求，也改變了“傳輸知識給學生”的局面，使得高中數學教學向著“自主、合作、研究”的方向發展，因此，在具體的教學實踐中，教師應合理地設計變式訓練，充分在課堂中引入，在辨析論證、鞏固應用、總結提升等環節中不斷鼓勵學生積累知識，達到理解的最高維度——移情，從而提升和發展數學能力.