立體幾何中空間想象能力的培養途徑

☉山東省鄒平市第一中學 牛傳勇

直觀想象指的是依據空間想象來對事物的變化進行感知，依據幾何圖形的特點來解決數學難題.主要包含對解決問題思路的疏導、利用圖形描述數學問題、發現數與形之間的關系等，通過這些能夠對事物的發展規律以及本質有更深層次的理解.本文主要研究如何在實際生活中對學生的空間想象能力進行培養，通過對已經研究的文獻進行整理，主要概括為以下幾點.

一、讓學生對空間幾何圖形進行觀察，同時動手制作模型；通過學生的觀察以及實際感知，讓學生的空間觀念得到提升，從而讓學生掌握空間圖形的能力得到有效的提升.

1.讓學生對簡單的幾何圖形進行掌握，同時注意讓學生能夠用圖形來表達數學問題，數學的基點是對問題的分析以及解決.在學習立體幾何的內容體系時，對幾何圖形的簡單認識是在必修二教材中對于“立體幾何初步”的學習.在實際生活當中，學生已經對生活中常見的幾何圖形有了一定的了解，但是還缺乏對相關幾何知識的系統學習.因此在實際教學過程中要注意讓學生對實際的幾何模型進行觀察，同時讓學生對實際的幾何圖形進行分類、概括以及歸納.從而可以認識到錐體、柱體以及臺體的主要特點，在這個基礎上了解到幾何圖形的簡單特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.

案例1：教師先讓學生自行預習人教版高中數學必修2中第一章1.1“空間幾何體”的有關知識，再進行以下思考：

（1）圖1是由圖2中的哪一個圖形旋轉得到的？

圖1

圖2

（2）棱臺與棱柱、棱錐有什么區別及聯系？圓臺、圓柱與圓錐又有什么區別及聯系？

（3）三棱錐有幾條棱、幾個頂點、幾個面？

隨后教師要讓學生們一一作答，并讓其余同學糾正錯誤，引導學生相互交流，進一步加深對概念的理解，從而使抽象的定義逐步轉化為直觀想象的幾何體.

2.讓學生自己動手進行幾何模型的制作，這一過程不僅能夠使學生的動手操作能力得到提升，還能夠使學生的空間想象能力得到發展.在進行模型制作的過程中，首先需要對模型的空間結構有一個清楚的了解，其次，要明白進行模型制作的流程以及過程，包括材料的選擇、流程的順序等等.對于一些比較復雜的模型，需要學生們進行合作才能按時完成，這樣能夠培養學生的合作協調能力，增強學生的學習熱情以及學習興趣，同時能夠使學生的空間想象能力得到很好的提升.

二、培養學生的數形結合意識，加強學生在“交流、觀察以及思考”等方面的能力.通過讓學生對問題的思辨論證，使學生的語言能力以及邏輯推理能力得到提升.

1.讓學生注重對事物進行觀察，來學習相關的基本的幾何知識，了解空間圖形的關系，對于學生理解直線之間的垂直以及平行關系有很大的幫助.空間圖形主要是由點、線以及面構成的，因此，了解這些圖形之間的位置關系，能夠幫助我們更好的認識空間圖形.

案例2：“空間圖形的公理”的教學設計.教師在上課之前先讓學生對教材內容進行熟悉，然后提出以下問題：（1）梯形、三角形以及圓都是平面圖形嗎？理由是什么呢？（2）四邊形一定是平面圖形嗎？（3）公理2能夠體現出平面的哪些特征？將長方體中的線以及面當做載體，能夠讓學生更加清楚的了解到空間幾何關系，體會到空間中點、線、以及面的關系.加強學生從實際圖形來認識理論知識的能力，在進行推理的過程中使學生的直觀想象能力得到鍛煉.其次，讓學生能夠正確的運用圖形語言、自然語言以及符號語言來進行圖形位置關系之間的描述.

2.引導學生能夠正確的運用周圍的物品進行學習.學生在學習立體幾何的過程中，需要認真的思考并分析圖形的動態過程，并對圖形變換的過程進行演示，這是提高學生空間想象能力的很好的方法.比如，在對異面直線的概念進行掌握的過程中，可以讓學生嘗試使用兩支筆作為直線，然后變換兩支筆之間的位置，進行位置關系之間的演示.學生通過這一過程能夠發現在兩條直線的關系中，不僅有“相交”“平行”，還存在既不相交也不平行的位置關系，這樣就將“異面直線”的概念傳授給學生.

在進行異面直線所成角的相關內容的學習時，教師可以采用粉筆來進行演示，將其中的一根粉筆進行旋轉，但是始終保持異面狀態，讓學生注意在這一過程中直線的位置關系會發生怎樣的變化.思考如何對這一變化進行刻畫？再如，在進行面面垂直關系的界定時，教師可以向學生提出這樣的問題：（1）工人師傅怎樣保證建造的墻與水平面相垂直？（2）將你的課本展開一定的角度，使其能夠樹立在桌面上，那么課本中的每一頁與桌面是什么關系？

在進行課堂教學的過程中，由于受到學生自身認知方面的限制，需要采用靈活的教學方法，運用實物進行展示可以將抽象的空間幾何表現為具體的圖形，讓學生對于抽象的數學知識能夠形成更加深刻的理解.

3.對特殊模型進行運用.利用特例進行反例的構造，對學生的推理能力加以重視，能夠幫助學生增強分析問題、解決問題以及思考問題的能力.

如在研究“三個角都是直角的四邊形一定是矩形嗎？”這一問題時，若學生僅靠推理很難推翻，因此就要借助特殊模型來解題.如圖3，引導學生構造長方體模型，然后在模型中取頂點構造空間四邊形就很容易判別出四邊形ABCD并不是矩形.

圖3

4.加強對垂直關系以及平行關系的教學，讓學生的邏輯推理能力得到足夠的發展.

線與線以及面與面之間最基本的關系就是平行關系以及垂直關系，之后更加復雜的位置關系的刻畫就是基于平行以及垂直關系的基礎進行的.

（1）對空間垂直關系以及平行關系的概念進行關注.在進行實際教學的過程中，常常發現一些學生將概念定義與判定定理混在一起.事實上，定義可以看做是對性質的解讀.垂直以及平行關系的定義能夠體現出其特征以及實質.在進行幾何學習時，通常用空集或者交集對平行關系進行定義，用角的度數對垂直關系進行定義.

（2）借助模型以及對模型的觀察，對空間關系進行更深一步的認識，進一步完善學生的空間觀念.讓學生通過對模型的觀察，了解點、線、面之間的位置關系，對平行以及垂直的定義進行更深一步的理解，將抽象的概念轉化成具體的模型關系；通過學生自身的感知以及想象形成空間感，有助于學生空間想象能力的形成，同時還有助于培養學生的空間感知能力.

例如圖4，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分別為AE，AB的中點.

（Ⅰ）證明：PQ∥平面ACD；

（Ⅱ）求AD與平面ABE所成角的正弦值.

圖4

例題答案：

證明：（Ⅰ）連接DP，CQ，在△ABE中，P，Q分別是AE，AB的中點，所以，所以PQ∥DC.又PQ?平面ACD，DC?平面ACD，所以PQ∥平面ACD.

圖5

（Ⅱ）在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，所以CQ⊥AB.

而DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC.

而EB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC.所以CQ⊥平面ABE.

由（Ⅰ）知，四邊形DCQP是平行四邊形，

所以DP∥CQ.

所以DP⊥平面ABE.

所以直線AD在平面ABE內的射影是AP.

所以直線AD與平面ABE所成的角是∠DAP.

在Rt△APD中DP=CQ=2sin∠CAQ=1，

當前階段學生應當具備的基本數學素養包括熟練的掌握空間圖形以及擁有良好的空間想象能力.對于這些能力的鍛煉以及培養需要一個較長的過程，這個過程是曲折、漫長的.在這一過程中，學生必須加強自身各方面能力的培養，時刻進行學習以及反思，同時注意對模型的運用，增強自身的思辨能力以及邏輯推理能力，使自身的空間想象能力能夠得到有效的提升.