數學無痕教育的實踐特征

徐斌

摘要：無痕教育的基本要義是隱藏教育目的與意圖，采取暗示和迂回的方式，從而讓學生在順其自然中學習和發展。無痕與有痕是辯證統一的關系。教育的目標是讓學生獲得有痕的發展，而學習的過程應該讓學生在無痕中進行。尋求無痕教育的有痕特征有利于形成無痕教育的實踐策略，從而指導數學課堂教學，促進學生素養發展。

關鍵詞：無痕教育;數學課堂;實踐特征

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）05A-0016-04

無痕教育的基本要義是隱藏教育目的與意圖，采取暗示和迂回的方式，從而讓學生在順其自然中學習和發展。“無”和“有”本是一對意義相反的概念，是中國哲學的永恒命題，正如《道德經》所言：“天下萬物生于有，有生于無”“圣人處無為之事，行不言之教”。而“無痕”與“有痕”則是一對辯證統一的概念。我們常說無中生有，從無到有，都表示兩者之間的相生相長的內在聯系。

何謂有痕？有痕即具有痕跡，留有印記。學生通過課堂學習首先應該獲得知識，形成技能，應該與走進課堂之前相比有明顯的進步與變化。這是每一節課堂的基本追求，理想的課堂學習效果應該是每個學生都在其原有基礎之上獲得顯著的發展和提高。何謂無痕？無痕即沒有痕跡，不留印記。兒童是一個個鮮活的生命體，而生命的成長是無時無刻不在變化著的，真正的教育是像呼吸一樣自然而然的發展過程。有痕，體現的是基礎知識和基本能力的顯性變化;無痕，體現的是必備品格和關鍵能力的隱性提升。要達到無痕的境界，需要經歷有痕的階段。教育的最終目的是要讓學生獲得帶得走、看不見而又用得著的東西，如當下都在研究與提倡的核心素養。核心素養其實是學生發展的“隱形的翅膀”，具有“無形的力量”，如同武俠小說里面的“無招勝有招”的境界。

在數學學科如何實施無痕教育呢？筆者以為首先要抓住無痕教育的幾個“有痕”特征，從而尋求數學課堂中的具體實踐策略。

一、無痕教育的基本特征

1.學習內容與兒童生活經驗的對接。葉圣陶曾經說過“教育像農業”，杜威也曾經指出“教育即生長。”“農業”意味著默默耕耘，靜待花開，春風化雨，不急不躁，從容不迫，順應自然。“生長”本是生命的特征，而任何生命體的生長是看不出明顯痕跡的，課堂是生命體之間的碰撞與交流，因此，教育即生長則意味著教育本無痕。數學學科的特性是高度的抽象性、思維的嚴謹性和應用的廣泛性，而兒童的思維則是以形象性和具體性為主。因此，義務教育階段的數學課程中，許多學習內容都可以在兒童的實際生活中找到背景。數學課堂學習內容的選擇應該從兒童的生活經驗出發，貼近兒童的生活現實，并適當借助已有舊知，尋找兒童生活現實與數學現實之間的“生長點”，讓新知在兒童的心田自然生長出來，使得兒童在不知不覺中開始學習之旅，使得學習像呼吸一樣自然發生。

2.學習方式與兒童認知規律的適應。兒童是怎樣學習和思維的？正如前蘇聯教育家烏申斯基所說“一般說來，兒童是依靠形狀、顏色、聲音和感覺來進行思維的”。兒童不是成人，也不是小大人;兒童不是抽象的人，兒童是一個個具體而鮮活的生命體。兒童就是兒童，兒童具有獨特的年齡特征和認知規律。而數學學科的高度抽象性和嚴密邏輯性常常使得一些兒童過早地失去了對數學的興趣。因此，數學課堂學習的方式應該適應兒童，適合兒童，應該更多采用直觀具體與生動形象的方式，激發兒童的學習興趣與動機，讓兒童在積極主動中參與知識的形成過程，讓兒童在潛移默化中理解數學知識的本質。

3.學習過程與兒童互動交流的融合。葉瀾教授曾經說過，課堂學習是生命體之間交往互動與共同發展的過程。課堂的最大魅力就在于其無法真正預設，無法完全復制和倒回重來，因此充滿了生命力，充滿了無限可能，具有神秘的美感。兒童學習數學的過程應該首先建立在自己實踐與思考的基礎之上，并充分發揮同伴之間的交往互動與合作交流的作用，讓每個兒童都能體驗成功的喜悅，增強自信心，鍛煉克服困難的意志，養成良好的學習慣，不斷提高自身的數學素養。

4.學習歷程與兒童全面發展的同步。義務教育階段的數學課程是培養公民素質的基礎課程，面向的是全體兒童，使得“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”。兒童通過數學課堂不僅獲得知識技能，還要發展思維與感悟思想，更為重要的是形成終生受用的核心素養。因此，伴隨著兒童學習歷程的應該同時充滿了求知的快樂，充滿了積極的情感，充滿了美好的回憶，進而為其一生的可持續和全面發展打下堅實的基礎。

二、數學無痕教育的實踐策略

1.不知不覺中開始

良好的開端是成功的一半，兒童課堂學習活動的開啟，應該在自然而然中出發，而不是赤裸裸地灌輸和強制性接受。只有引發了對新知的內在需要，才能激發起兒童學習的內驅力。而要做到不知不覺中開始，前提是教師對所教內容的整體把握。因為每一門學科的教學內容都具有整體性和系統性，每冊教科書、每個教學單元、每一節課時、每一個知識點的內容之間都有著內在的聯系。優秀的教師總是能夠瞻前顧后，遷移滲透，把握所教內容與以前學習內容以及將來學習內容之間的實質性聯系，為學生選準合適的認知起點，讓學生在不知不覺中開始新知學習。

例如教學《平均數》一課在新知引入時可以做如下設計：課始，師生談話從學生熟悉的各種游戲活動入手，引出學生富有生活經驗的套圈游戲;然后，邀請全體學生擔任套圈比賽的裁判，并依次出現四次套圈比賽統計圖，讓學生充分感知數據和圖表，了解套圈比賽的具體信息，運用生活經驗和已有舊知做出判斷。四次套圈比賽，由易到難，逐步深入：第一次比賽，人數相同且每人套中個數相同，一目了然，直接可以判斷勝負;第二次比賽，人數相同，但每人套中個數不同，求和即可比較勝負;第三次比賽，人數不同，但每人套中個數相同，觀察圖中整體水平即可比較判斷勝負;第四次比賽，人數不同，每人套中個數也不同，無法直接觀察和比較判斷。這樣，在充分的數據感知中，學生逐步學會尋找一組數據的代表，逐步產生對平均數的需要，同時使得平均數的含義具有豐富的直觀基礎，為接下來理解平均數的意義做了充分的感性支撐。

不知不覺中開始的策略，從教育心理學角度看，是確立合適的學習起點，即明確學生“現在在哪里”。有了對教學內容的整體把握，就有了對學生原有認知與學習狀態的準確了解，就有了對學生生活經驗與思維體驗的適度理解。有了這樣的教學前提，就能夠進一步明確把學生“將要帶向哪里”以及“如何走向那里”，從而無痕地將學生引向新知的邊緣，讓學生油然而生對新知學習的需求。

2.潛移默化中理解

“為理解而教”是課堂教學的重要目標，而理解知識的關鍵是順應兒童的思維特點和認知規律。課堂的本體是兒童的學習，有效的數學學習必然建立在對兒童學習心理準確把握的基礎之上。小學階段兒童的認知屬于皮亞杰指出的具體運算思維階段，其最大特點是思維離不開具體事物的支持，這也導致小學兒童的感知覺、觀察力和記憶力均處于初步發展水平，其學習數學的動機和興趣很不穩定。在這樣的前提之下，兒童學習數學的過程，需要充分借助形象直觀的教學手段，充分利用新舊知識的相互作用，以順應兒童的學習心理，讓兒童在不露痕跡中獲得新知意義。

例如教學《解決問題的策略（畫圖）》一課時，為幫助學生理解“長方形的長增加3米，面積增加了18平方米”這一難點，先讓學生動手實踐畫圖嘗試，接著讓學生到黑板上演示畫圖過程時分三步進行：第一步畫出一條長增加3米（見圖1），教師提問：畫對了嗎？面積增加了嗎？第二步再畫出另一條長增加3米（見圖2），提問：兩條長都增加了3米，面積增加了嗎？第三步畫出原來長方形的寬平移過來后，組成增加的部分面積（見圖3）。

這樣的教學設計，表面上是學生一步步根據需要畫圖的動機變化過程，實質上是學生從動作思維到形象思維再到邏輯思維不斷發展的過程，也是學生理解抽象的文字信息并深度理解文字信息背后蘊藏的數學內涵的過程。這樣的理解過程，不是教師的強制安排，也不是放任學生無序操作，而是教師不經意的引領和學生潛移默化中走向理解的過程。

在潛移默化中理解的策略，需要的是對兒童學習心理規律的深度洞察。基于兒童學習心理的數學教學，是在兒童數學學習的過程中，尤其在新知理解階段，在學科元素中融入兒童認知特點，能夠使新知學習更適合兒童的認知發展，為學生深度理解知識、發展技能和形成能力打下堅實的基礎。

3.循序漸進中掌握

學生學習數學的過程，既是在教師引導下的意義建構過程，也是在自身需求發展中的自主建構過程。無痕教育視野下的學生數學學習過程，更主要的體現為教師精心設計學生的學習進程，從某種意義上說是一種“進”與“退”的藝術。通過適當的“退”和必要的“進”，能使得學習過程成為學生潛移默化地掌握知識和技能的過程。從某種意義上說，“退”是“進”的準備和基礎，“進”是“退”的發展與提升。在課堂上，“進”“退”之間體現的是一種行云流水般的從容節奏，是一種水乳交融般的無痕狀態。

例如學生學習《倍的認識》一課中，教師在鞏固練習階段設計了如下的漸變式教學：

師：（出示圖4）紅帶子的長是綠帶子的幾倍？

生：紅帶子的長是綠帶子的1倍。

師：其實兩根帶子的長度是什么關系？

生：一樣長。

師：（出示圖5）這時，紅帶子的長是綠帶子的幾倍？為什么？

生：紅帶子有這樣的5份，所以是綠帶子的5倍。

師：（出示圖6）現在，帶子有了怎樣的變化？

生：帶子變細窄了。

師：這時紅帶子的長是綠帶子的幾倍？

生：還是5倍。

師：帶子變細窄了，為什么還是5倍呢？

生：因為長度沒有變化。

師：（出示圖7）那么，現在兩根帶子又變化成什么了？

生：變成了線段。

師：第二條線段的長度是第一條的幾倍？

生：還是5倍。

學生對倍的概念的掌握，需要從直觀形象出發逐步進行抽象概括。這里，教師設計了從帶子圖到線段圖的漸變過程：首先是從一個量（只有綠帶子）沒有“倍”，到兩個量（綠帶子和紅帶子一樣長）的“1倍”的關系變化;然后是從“1倍”關系變化為“5倍”的關系;接著再變化帶子的寬度而長度不變，讓學生在變和不變中掌握概念本質;最后又從帶子圖變為線段圖，進一步抽象出倍的特征。這樣的設計與教學，學生在循序漸進中逐步走向數學概念的本質，形成相關技能，進而應用技能解決簡單的實際問題。

在循序漸進中掌握的策略，需要教師能夠把握學生技能形成的規律，通過“進”與“退”的過程設計，從簡單出發，向本質邁進，從而引領學生逐步地掌握知識技能，在不露痕跡中培養思維能力，在淡墨無痕中發展數學思想。從這個意義上說，數學教學的智慧就在于教師能在“進”與“退”之間游刃有余。

4.春風化雨中提升

眾所周知，比知識重要的是方法，比方法重要的是思想，比思想重要的是精神。數學知識的教學，要注重知識的“生長點”和“延伸點”，把每堂課的知識教學置于整體知識的體系中，引導學生從知識的理解到技能的掌握，同時要透過知識技能的學習幫助學生感悟數學思想，積累數學活動經驗，進而培養學生積極的情感態度和價值觀。

例如教學《解決問題的策略（替換）》一課，教者設計了如下板書（如圖8）：

在學生初步學習例題（倍數關系的替換）之后，通過變式題出示相差關系的替換。更為重要的是結合學習過程中逐步形成的板書進行觀察與對比，使學生發現倍數關系的替換結果是總量沒有變，而相差關系的替換結果總量發生了變化;并且進一步觀察發現倍數關系的替換結果杯子的總個數發生了變化，而相差關系的替換結果杯子的總個數卻沒有變化。這樣的設計，幫助學生建立了替換策略的認知結構，學生獲得的不僅僅是對這兩種類型替換策略的具體知識和技能，而是透過學習過程感悟了等量代換、守恒的數學思想以及變與不變的辯證意識，提升了理性精神。

總之，無痕教育理念指導下的數學課堂，是學生享受教師服務的過程。學生的學習經歷是充實快樂的，學習結果是充分有效的，學習的過程是充滿智慧的。

責任編輯：顏瑩