Taylor定理及其應用的幾個問題

張睿

【摘要】在高等數學中，Taylor定理是處理和研究一些數學問題的有力工具.本文在已有文獻的基礎上，對該定理的應用再進行研究，闡述了Taylor定理并給出了Taylor定理在求極限、不等式證明、中值等式、“函數歸零”問題等方面的應用，通過一些實例中的方法和技巧更深刻地理解如何靈活運用Taylor定理.

【關鍵詞】Taylor定理;極限;不等式證明;應用

多項式函數是最為簡單的一類函數，它具有非常好的數學性質，容易進行算術運算和求出其函數值.因而，多項式函數常被用于近似地表達其他函數，這種近似表達在數學上常稱為逼[1，2].著名的英國數學家B.Taylor（泰勒）在這方面取得了不朽的貢獻.其研究結果表明：具有直到n+1階導數的函數在一個點的鄰域內的值可以由函數在該點的函數值及各階導數值組成的n次多項式近似表達.由此產生了泰勒定理，即帶有Lagrange（拉格朗日）型余項的泰勒公式，帶有Peano（佩亞諾）型余項的泰勒公式，它是高等數學中微分學中非常重要的內容，在理論上和應用上均是十分重要的[1-5].本文闡述了Taylor定理，給出了Taylor定理在求極限、不等式證明、中值等式、“函數歸零”問題及其他方面的應用，通過一些實例中的方法和技巧更深刻地理解如何靈活運用Taylor定理.

一、Taylor定理概述

定理1 （帶有Peano型余項的泰勒公式）若函數f（x）在點x0存在直至n階導數，則有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+ο（（x-x0）n）.

特別地，當x0=0時，f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+ο（xn）.

它也稱為帶（Peano型余項）麥克勞林（Maclaurin）公式.

定理2 （帶有Lagrange型余項的泰勒公式）若函數f（x）在[a，b]上存在直至n階連續導函數，在（a，b）內存在n+1階導函數，則對任意給定的x，x0∈[a，b]，至少存在一點ξ∈（a，b），使得

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1.

特別地，當x0=0時，

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+f（n+1）（θx）（n+1）！xn+1，θ∈（0，1）.

該公式也稱為帶（Lagrange型余項的）麥克勞林公式.

注1 能將函數、一階導數、二階導數全部聯系在一起的數學工具唯有泰勒公式.當函數f（x）滿足定理1條件時，滿足泰勒公式的n次逼近多項式是唯一的.運用定理1和2，可以在x0=0附近將某些常用函數展開，利用這些函數展開式可以間接的將一些復合函數泰勒展開.

二、Taylor定理的應用

（一）求極限

例1 求極限 limx→0x22+1-1+x2（cosx-ex2）sin（x2）.

解 由于1+x2=1+x22-x42·4+ο（x4），sin（x2）～x2，

cosx=1-x22！+x44！+ο（x4），ex2=1+x2+x42！+ο（x4）.

故 limx→0x22+1-1+x2（cosx-ex2）sin（x2）=limx→0x48+ο（x4）-3x42+ο（x4）=-112.

例2 設函數f（x）在點x0處有n+1階導數，且f（n+1）（x0）≠0，f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0）+h22！f″（x0）+…+hnn！f（n）（x0+θh），θ∈（0，1），求 limh→0θ.

解 由于函數f（x）在點x0處有n+1階導數，故

f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0）+h22！f″（x0）+…+hn+1（n+1）！f（n+1）（x0）+ο（hn+1），

與已知式子比較得

hnn！f（n）（x0+θh）=hnn！f（n）（x0）+hn+1（n+1）！f（n+1）（x0）+ο（hn+1），

即f（n）（x0+θh）-f（n）（x0）h=1n+1f（n+1）（x0）+ο（1）.

令h→0，對上式兩端取極限，得

limh→0θf（n+1）（x0）=1n+1f（n+1）（x0）.

因為f（n+1）（x0）≠0，所以 limh→0θ=1n+1.

注2 Taylor定理是一個非常重要和有用的定理，利用它常常可以用來求一些“不定型”的極限.這里，除了一些其他技巧外，主要是依據分母的“無窮小量”的“階數”，而相應將分子的函數亦作“相同階數”的Taylor多項式展開.當然需要知道一些函數的帶Peano型余項的Taylor公式.為了計算方便，有時需要用到等價無窮小代換.

（二）論證“函數歸零”問題

例3 已知函數f（x）在（-1，1）內有二階導數，且f（0）=f′（0）=0，|f″（x）|≤|f（x）|+|f′（x）|.（1）

證明存在δ>0，使得在（-δ，δ）內f（x）≡0.

證明 把（1）式右邊的f（x），f′（x）在x=0處進行泰勒展開，得

f（x）=12f″（ξ）x2，f′（x）=12f″（η）x，

其中ξ，η在0與x之間.

下面不妨限制x∈-14，14，由題意可知|f（x）|+|f′（x）|在-14，14上連續且取得最大值，即存在x0∈-14，14，使得|f（x0）|+|f′（x0）|=maxx∈-14，14{|f（x）|+|f′（x）|}=M.

又由M=|f（x0）|+|f′（x0）|=12f″（ξ0）x20+|f″（η0）x0|≤14（|f″（ξ0）|+|f″（η0）|）≤14（|f′（ξ0））+|f（ξ0）|+|f（η0）|+|f′（η0）|）≤14·2M=12M，

故M=0，因此當x∈-14，14時，f（x）≡0.

（三）論證涉及抽象函數的不等式

例4 設f（x）在[a，b]上二階可導，f′（a）=f′（b）=0.證明：存在ξ∈（a，b），使得|f″（ξ）|≥4（b-a）2|f（b）-f（a）|.

證明 由fa+b2分別在a，b處進行泰勒展開可知

fa+b2=f（a）+f′（a）b-a2+f″（ξ1）2b-a22，

ξ1∈a，a+b2，

fa+b2=f（b）+f′（b）a-b2+f″（ξ2）2a-b22，

ξ2∈a+b2，b，

兩式相減，注意到f′（a）=f′（b）=0，整理得

2a-b2|f（b）-f（a）|=f″（ξ2）-f″（ξ1）2

≤|f″（ξ2）|+|f″（ξ1）|2≤f″（ξ），

其中ξ=ξ1，當|f″（ξ1）|≥|f″（ξ2）|，ξ1，當|f″（ξ1）|≤|f″（ξ2）|.

注3 函數的帶Lagrange型余項的Taylor公式，是證明某些函數不定式的有效方法.泰勒展開有兩個要點：一是要進行展開的特殊點的選取;二是要在哪個特殊點進行展開.通常，“特殊點”可以是一階導數值的點、區間端點、最值點、中間點、平均值點等，根據給定條件和論證結果確定.

（四）證明涉及具體函數的不等式

例5 證明tanxx>xsinx，x∈0，π2.

證明 令f（x）=sinxtanx-x2.注意到f（0）=f′（0）=f″（0）=0，且

f（x）=（sin3x+5sinx）sec2x-sinx>0，由x∈0，π2可知，f（x）>0，即結論成立.

注4 用泰勒公式證明涉及具體函數的不等式時，可直接運用下述重要原理：若f（x）在[a，b]上有連續的n階導數，且f′（a）=f″（a）=…=f（n-1）（a）=0，f（n）（a）>0（x∈（a，b）），則當x∈（a，b）時，f（x）=f（n）（ξ）n！（x-a）n>0.

（五）證明涉及中值的等式

例6 設f（x）在[-1，1]上有三階連續導數，且f（-1）=0，f（1）=1，f′（0）=0，則存在一點ξ∈（-1，1），使得f（ξ）=3.

證明 對任意x∈[-1，1]，由泰勒公式可得

f（x）=f（0）+xf′（0）+x22！f″（0）+x33！f（η），

其中η在0與x之間，得

0=f（-1）=f（0）+12f″（0）-16f（η1），η1∈（-1，0），

1=f（1）=f（0）+12f″（0）+16f（η2），η2∈（0，1），

進而可知f（η1）+f（η2）=6.

由于f（x）在（〗-1，1]上連續，故f（x）在[η1，η2]上有最大值M，最小值m，使

m≤12[f（η1）+f（η2）]≤M.

由連續函數介值定理可知，存在ξ∈[η1，η2]（-1，1），使得

f（ξ）=12[f（η1）+f（η2）]=3.

（六）其他方面的應用

例7 設f（x）在x0處有n階導數，且f（k）（x0）=0，（k=1，2，...，n-1）f（n）（x0）≠0.

證明 當n為偶數時，x0是極值點.若f（n）（x0）>0，x0是極小值點;若f（n）（x0）<0，x0是極大值點.

證設x為點x0的鄰域內任意一點，有Taylor公式

f（x）=f（x0）+f（n）（x0）n！（x-x0）n+ο（（x-x0）n），

得f（x）-f（x0）（x-x0）n=f（n）（x0）n！+ο（1），

即當|x-x0|充分小時，f（x）-f（x0）（x-x0）n與f（n）（x0）同號.于是，當n為偶數且f（n）（x0）>0時，有f（x）>f（x0）（x≠x0），故x0是極小值點;當n為偶數且f（n）（x0）<0時，有f（x）

注5 Taylor定理可以深入地探索函數的極值點問題.Taylor定理是研究一個函數在一點的“局部性質”，也就是說成為研究此函數在一點的鄰域內如何用一個多項式（具有“n階”的多項式）來“代替”的有力工具.該定理中函數的多項式展開后的“誤差”，即Peano余項是一個定性估計.

例8 證明數e是無理數.

證明 由ex=1+x+x22！+…+xnn！+eθx（n+1）！xn+1，θ∈（0，1），可知

e=1+1+12！+…+1n！+eθ（n+1）！，

因此n！e-n！1+1+12！+…+1n！=eθn+1.（2）

用反證法.假設e=pq（p，q∈N+）為有理數，則當n>q時，n！e為正整數，于是式（2）左邊為正整數，而02時，eθn+1不是正整數，因此當n>max{q，2}時，式（2）左邊為正整數，右邊不是正整數，這就產生矛盾，所以e是無理數.

例9 函數f（x）=x2ln（1+x）在x=0處的n階導數f（n）（0）（n≥3）.

解 由麥克勞林公式（x=0處的泰勒展開式）

f（x）=f（0）+xf′（0）+x22！f″（0）+…+xnn！f（n）（0）+…

及x2ln（1+x）=x2x-x22+x33-…+（-1）n-1xn-2n-2+…=x3-x42+…+（-1）n-1xnn-2+…

比較xn的系數得f（n）（0）n！=（-1）n-1n-2，

所以f（n）（0）n！=（-1）n-1n！n-2.

泰勒公式的應用還有許多方面，如判斷級數的斂散性、求行列式的值等問題也都可以用到泰勒公式，本文主要介紹了泰勒公式的一些常見的應用技巧，對怎樣運用泰勒公式解題有了更深一層的理解，遇到不同類的問題，只要仔細分析，結合題設的條件及其形式特點，把握好處理原則，就能靈活運用泰勒公式解決問題.

【參考文獻】

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