源于直觀重在數學想象

周云

摘 要：《普通高中數學課程標準》提出數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六大核心素養，這些素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體。本文結合自身的教學活動，對核心素養中直觀想象的培養做一些實踐探究。

關鍵詞：課程改革；核心素養；直觀想象；實踐

一、直觀想象的涵義

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

二、培養高中學生直觀想象的實踐

夸美紐斯和裴斯泰洛奇都是直觀想象的提倡者，裴斯泰洛奇繪出實物的圖片，以此為媒介教學生觀察與記述，進行直觀教學實驗，夸美紐斯在《大教學論》中還提出了許多重要的教學原則，如直觀性原則，要求“在可能的范圍以內，一切事物都應盡量放到感官跟前”。他們認為：“直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，就是直接把握對象的全貌。”

1.注重自制教具，自己動筆畫圖形，讓學生體會直觀想象的形成過程

公開示范課《三角函數的誘導公式》，學生在老師的引導下，用一個“米”字破解了誘導公式的發現過程，觀察圖像最明顯，接近學生原有的認知水平，借助形象化的圖像表示抽象化的終邊對稱關系。學生得到了型如π-α，π+α，-α的誘導公式，簡記為“函數名不變，正負看象限”。

根據皮亞杰的反省抽象理論，即使學生已經積累了大量的操作經驗，但如果沒有對操作結果進行思考，那么就會阻斷了學生學會新的思考方法的途徑。以下是我借鑒公開示范課的創意并應用在課堂中的教學實踐，請學生完成一個類似的設計，證明sin -α=cosα，為學生提供思考、發現問題的機會：

問題1 如果角α=30°，請同學寫出一些正弦值與cos30°相同或為相反數的角。

問題2 如果角α是任意銳角，請同學畫出與cosα相同或為相反數的角的終邊。

問題3 請大家把問題2中終邊相對應的角用最簡捷形式表示出來，并觀察該圖，寫出觀察到的等式。

學生在畫圖的時候，意外發現α與 -α的終邊關于直線y=x對稱，P（cosα，sinα）和Q（sinα，cosα）關于直線y=x對稱，因此sin -α=cosα.接下來由上述圖像，學生不難發現 +α， -α， +α的誘導公式，簡記為“函數名變，正負看象限”。

學生有了上述的設計、推導、發現過程，從幾何出發，抽象出代數關系，再順理成章地將三角比的誘導公式 +α概括成一般性的口訣“奇變偶不變，正負看象限”，簡單明了，輕松記憶，若干年后，可能數學知識全忘了，但這句口訣，終生難忘。

2.構建數學模型，領悟幾何特征，培養學生的直觀想象能力

數學學習離不開經驗、方法的積累，學生需要對學過的知識進行反思、歸納、總結。通過對圖形的觀察，特別是運動中的不變性，抓住幾何特征，構建數學模型，巧妙地解決一些難題。

以下是一道課堂習題課的教學片斷：

例：已知方程x+lnx-5=0，x+ex-5=0的實根分別是x1，x2，則x1+x2= 。

師：lnx=5-x，ex=5-x，直接解方程的話，貌似不會解？

生1：lnx1=5-x1？圳x1= ，對照方程組 =5-x2 =x1，猜測5-x2=x1，所以x1+x2=5。

師：很大膽的猜測，大家覺得答案對嗎？（同學們紛紛點頭同意）怎么證明呢？

生2：函數f（x）=ex+x-5單調遞增，f（1）·f（2）<0，f（x）=ex+x-5只有一個零點，所以5-x2=x1。

師：理由非常充分，很完美的解答。既然是從函數的角度思考，那么是否有其他想法？

生3：數形結合，y=lnx，y=ex互為反函數，它們的圖像于y=x對稱，而y=5-x也關于y=x成軸對稱圖形，由圖像可知，交點為A（x1，y1）、B（x2，y2），它們關于點P ， 對稱，所以x1+x2=5。

師：想法很好，超越方程一般沒有解析解，而只有近似解，只有特殊的超越方程才可以求解。在大學階段常用的近似解法有牛頓切線法、冪級數解法等，也可以編制一段程序用計算機求解。但高中階段，更多的是化歸思想，利用數形結合求解。

以上設計著眼于發展直觀想象素養的習題課教學，以學生熟悉的函數圖像為載體，這是學生現有的發展水平。引導學生畫出圖像，對稱軸的巧妙應用是“點睛之筆”，這就是學生的最近發展區。學生進一步加深方程和函數的聯系，從而發展學生的數學核心素養。同樣的立體幾何的教學重點是幫助學生逐步形成空間想象能力。以正方體、長方體為模型和載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系。

數學教師就是要以數學知識為核心，選擇具有教育價值的例題，在課堂中努力實踐，培養學生的直觀想象能力。

參考文獻：

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[2]羅增儒，羅新兵.波利亞的怎樣解題表（續）[J].中學數學教學參考，2004（5）：23-25.

[3]章建躍.高中數學教材落實核心素養的幾點思考[J].課程·教材·教法，2016（7）：44-49.

編輯 田香香