對兩道立體幾何高考題的探析及教學思考

山東 尹承利 范正和

在同一年高考的全國卷及各省試卷中，考查相同知識點且背景類似的考題可謂比比皆是，但幾乎一樣的試題卻出現在兩份試卷中，這樣的情況頗為罕見.2018年高考數學天津卷理科第11題和江蘇卷第10題撞臉成“一家親”，著實讓我們對命題者們的獨具匠心和不謀而合感到嘆服！在驚嘆命題者們“心有靈犀”的同時，去探析高考試題的變式，進而在“變”的過程中揭示問題的數學本質，實屬必要.

一、試題再現

題1.(2018·天津卷·理11)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖1)，則四棱錐M-EFGH的體積為________.

圖1

題2.(2018·江蘇卷理·10)如圖2所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________.

圖2

分析：題2只是將題1擴展了一下，在原四棱錐的基礎上，“倒補”上了一個底面重合的“全等”的四棱錐，其本質上為一題.

解析：

點評：這兩道高考題文字表述流暢、圖形優美，通過研究多面體“接”的組合關系，意在考查學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養，較好地反映了立體幾何問題的數學本質.

二、變式探析

思考1.圖2中的多面體顯然是兩個相同的圖1中的四棱錐的“合體”，如果所在正方體的棱長相同，則圖2中多面體的體積是圖1中四棱錐體積的2倍，這是毋庸置疑的.而圖1中的四棱錐的表面積和圖2中多面體的表面積，就不能這樣類比了，應看到相互間的“差異”.

變式1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖1)，則四棱錐M-EFGH的表面積為________.

變式2.如圖2所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為________.

點評：變式2多面體的表面積只是兩個四棱錐的側面積之和，而不是兩個四棱錐表面積之和，所以不要加底面的面積.

思考2.圖1中的四棱錐和圖2中的多面體的外接球是怎樣的情形呢？若求的是外接球的體積或表面積，則有如下變式.

變式3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖1)，則四棱錐M-EFGH外接球的體積為________.

變式4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖1)，則四棱錐M-EFGH外接球的表面積為________.

變式5.如圖2所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的外接球的體積為________.

變式6.如圖2所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的外接球的表面積為________.

思考3.圖1中的四棱錐和圖2中的多面體的內切球又會是怎樣的情形呢？又如何求內切球的體積或表面積呢？

變式7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖1)，則四棱錐M-EFGH內切球的體積為________.

變式8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖1)，則四棱錐M-EFGH內切球的表面積為________.

變式7、8解析：求內切球的體積或表面積的關鍵是求出內切球的半徑，這里需要“分割”后運用等體積法求內切球的半徑.

設四棱錐內切球的半徑為r1，連接球心和四棱錐的各個頂點，則將四棱錐“分割”為3個體積相等的小三棱錐和1個小四棱錐.

變式9.如圖2所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的內切球的體積為________.

變式10.如圖2所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的內切球的表面積為________.

變式9、10解析：求內切球的體積或表面積的關鍵是求出內切球的半徑，這里需要“分割”后運用等體積法求內切球的半徑.

思考4.若將問題轉化為求空間角，則有如下變式.

變式11.如圖3所示，正方體的棱長為1，以其所有面的中心為頂點的多面體為ABCDEF，則異面直線DE與CF所成的角為________.

解法1.由題意，該多面體所有棱的長均相等，且點E，C，F，A在同一個平面上，即四邊形ECFA為菱形.

所以EA∥CF，故相交直線DE與EA所成的角就是異面直線DE與CF所成的角.

由△ADE為正三角形，得直線DE與EA所成的角為60°.

因此，異面直線DE與CF所成的角為60°.

解法2.如圖4，設直線CA和DB相交于點O.

依題意，直線CA，DB，EF兩兩垂直，且相交于O，分別以CA，DB，FE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O-xyz.

因為異面直線DE與CF所成的角為銳角，故異面直線DE與CF所成的角為60°.

思考5.若多面體的各頂點不在正方體各個面的中心，那么多面體的體積將會是什么情形呢？結合“新定義”信息，則有如下變式.

變式12.兩個相同的正四棱錐(底面是正方形，頂點在底面的射影是正方形的中心)底面重合組成一個八面體，可放入棱長為1的正方體中，重合的底面與正方體的某一個面平行，各頂點均在正方體的表面上，把滿足上述條件的八面體稱為正方體的“正子體”.

問此“正子體”的體積V是否為定值？若是，求出該定值；若不是，求出體積大小的取值范圍.

解析：“正子體”的體積不是定值.

設正四棱錐底面正方形為ABCD，正方體的截面四邊形為A′B′C′D′，

點評：變式12是一道融空間線面關系、空間角、幾何體體積、二次函數、新定義信息等多個知識點于一體的探索性綜合題，背景頗為新穎.它從基本知識出發，形成知識綜合點，進而抵達思維制高點(新定義信息、探索性)，凸顯了立體幾何問題的本質.

三、思維拓展

我們再回歸到兩個高考題，基于題2的情形做一下深度拓展，可得到這類問題的一般性結論.

拓展1.如圖2所示，正方體的棱長為2a，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________.

拓展2.如圖2所示，正方體的棱長為2a，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積與正方體的體積之比為________.

結論2.在正方體中，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積與正方體的體積之比為1∶6.

拓展3.如圖2所示，正方體的棱長為2a，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為________.

拓展4.如圖2所示，正方體的棱長為2a，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積與正方體的表面積之比為________.

四、教學思考

1.立體幾何是數學的重要內容之一，它在形成同學們的空間觀念、培養空間想象能力和鞏固邏輯思維能力方面有著其他內容無法替代的獨特作用，是歷年高考考查的重點.求解多面體的表面積及體積問題，關鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形、棱錐中的直角三角形、棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關系，建立未知量與已知量間的關系，進行求解.

2.高考試題大都蘊含著豐富的內涵，如果我們在教學中充分挖掘其潛在的功能，讓學生將所學知識進行靈活運用，并開拓思路，從而做到融會貫通，那么就能揭示問題的本質，發掘知識的內在聯系，提高解決問題的能力.