邏輯推理核心素養視角下的概念教學
——以“任意角的三角函數”的教學設計為例

湖北 陶德軍

一、問題背景

數學邏輯推理是國內外數學教育界持久的研究熱點，中國已經取得不少相關研究成果，但其內涵的界定沒有得到統一.數學上的邏輯指的是思維的規律和規則，是對思維過程的抽象.邏輯推理屬于思維的基本形式之一，從一些事實和命題出發，對數學對象進行邏輯性思考，進而推出一個命題的思維過程.邏輯對象是表示數量關系和空間形式的數學符號；數學推理的依據主要來自問題所在的數學系統；邏輯性思考方法有觀察、實驗、聯想、猜測、直觀、歸納、類比、推廣、限定、抽象、矯正、調控、演繹等科學發現、論證手段；數學邏輯推理是環環相扣，連貫進行的符合邏輯的過程.在教學中提升學生邏輯推理核心素養，尤其是以“數與代數”為抓手的相關文獻并不多.筆者以2018年12月宜昌市縣域示范高中聯合體“同課異構”的優質競賽課一等獎 “任意角的三角函數”的教學設計為例，來談談邏輯推理核心素養視角下的概念教學.

二、教學設計

1.數學史(視頻)引入，再現數學邏輯推理在科學發現中的貢獻

情境1：三角學之父喜帕恰斯(古希臘天文學家)為定量解決天體位置引入球面三角，此時的正弦是圓弧所對弦的弦長，這時的三角主要是滿足天文學計算的需要.德國數學家雷格蒙塔努斯1464年完成的《論各種三角形》，提出了求三角形邊長的代數解法，討論了球面三角的正余弦定理，是三角學從天文學中獨立出來的標志，這是幾何的三角.哥白尼學生雷蒂庫斯的《三角形準則》(1551年)首次給出了六種三角函數表，重新定義了三角函數，即為三角形的邊與邊的比，并指出此比與角度有關，不過僅限于銳角三角函數，目的在于解三角形和三角計算，這是代數的三角.18世紀，歐拉建立了三角函數的嚴格解析理論，正弦不再是線段，而是數值，三角函數不再單純解決三角形邊角關系，而是研究周期變化最有表現力的函數，這是解析的三角.

【設計意圖】讓學生了解三角函數發展史，感受概念形成的曲折經歷、感知需要培養的核心素養，滲透數學文化.

2.復習舊知，構建邏輯思維起點

情境2：初中銳角三角函數是如何定義的？

【設計意圖】任意角三角函數定義的生成以初中銳角三角函數的定義為探究起點.

3.由形到數，類比推理，演繹論證，實現三角函數定義解析化

情境3：為了討論問題方便，怎樣將Rt△OMP中∠POM放入直角坐標系？如何表示銳角α終邊上點P的坐標？

頂點O與原點重合，角的始邊OM與x軸的非負半軸重合，PM⊥x軸于點M，點P坐標為(a,b).

情境4：你能用直角坐標系中角α終邊上點P的坐標來表示銳角α的三角函數嗎？

情境5：改變角α終邊上點P位置，銳角α的三角函數改變嗎？能說明理由嗎？

教師讓學生想象思考，作出主觀判斷，教師再用幾何畫板演示，當點P改變位置時，討論點P坐標的變化及對應三角函數值.結論：當角α確定時，α的三角函數不隨點P位置改變而變化.

教師引導學生看圖，點P改變時，得到的兩個三角形相似，比值不變.

情境6：銳角α變化時，比值改變嗎？比值是角的函數嗎？

教師讓學生想象思考，作出判斷，教師再用幾何畫板演示，同時作出解釋.

結論：當α為銳角時，三個比值會隨著α的變化而變化；當α確定時，三個比值是確定的.因此三個比值是以α為自變量，以比值為函數值的函數.

【設計意圖】角是幾何圖形，將角放入坐標系，通過終邊上點的坐標，搭建由形到數的橋梁.PM⊥x軸于點M，構造情境2中的Rt△OMP，將坐標系中銳角三角函數的表示化為初中直角三角形中銳角三角函數的表示，類比實現了定義解析化.通過情境5與6，比值隨角的改變而改變，角定則比值唯一，解釋了銳角三角函數表示的合理性.

4.類比、歸納，實現三角函數定義任意化

情境7：能將銳角三角函數的比值情形推廣到任意角α嗎？

追問：當α變化時，正弦、余弦、正切對應比值變化嗎？

讓學生思考，作出判斷，再用幾何畫板演示.結論是各比值隨α變化而變化.

再引導學生利用相似三角形知識，探索發現：對于α的每一個確定值，比值不變.再用幾何畫板演示.

【設計意圖】從銳角三角函數類比到任意角的兩類8種情況，再歸納共性，得到任意角三角函數定義.

5.通過限定r得第二定義

情境8：以原點為圓心，單位長度為半徑的圓叫單位圓.當點P為單位圓與終邊交點時，上面定義對應結果是什么？

【設計意圖】限定r引入第二定義，是為了后續三角函數定義幾何化，引入三角函數線，為畫三角函數圖象作準備.

6.觀察定義的符號表達式，探究概念的外延

情境9：請同學完成下表.

函數sinαcosαtanα定義域

【設計意圖】讓學生探究三角函數定義的適用范圍.

7.調控思路、矯正方向，應用概念解決實際問題

在解題過程中學生只知道畫出角的終邊，在終邊上取點P，但不知道所取點P的坐標怎么求，此時教師要引導學生，在坐標系中常見輔助線是過點P向x軸作垂線，垂足設為M，得Rt△OMP.

追問：在Rt△OMP中已知什么？取|OP|=2，則兩條直角邊邊長是多少？點P的坐標是多少？

【設計意圖】取點→作垂線→構造直角三角形→解直角三角形→表示點的坐標→求三種三角函數值，這是用定義法求三角函數的基本程序.

8.反思小結，提升邏輯推理核心素養

情境11：請同學們對本節課內容進行小結.

【設計意圖】數學史引入(感受邏輯推理在科學探究中的作用)→復習三角形中三角函數定義(從形出發)→坐標系中銳角三角函數定義(類比實現代數化、解析化、符號化)→任意角三角函數定義(類比、歸納推廣實現一般化、探究內涵)→定義域(觀察探究應用范圍、外延)→特殊角三角函數值求解(矯正、調控思路實現應用程序化)，讓學生重溫概念的生成、應用，提升核心素養.

三、賽后議課

1.通過數學史引入概念，再現概念生成的軌跡.概念內涵的界定得到統一，要經過很長時間，甚至幾個世紀，通過數學史引入概念培養學生邏輯推理核心素養不僅可行，而且是一個重要的抓手.本案例用視頻介紹了三角函數定義形成的悠久歷史，從天文學中的球面三角→幾何的三角(從天文學獨立出來)→代數的三角→解析的三角，即從實際問題抽象出數學問題→直角三角形中直觀的邊長比(形)→給出三角函數表(由形到數)→嚴格的解析理論建立(符號化),發展過程中用到抽象、觀察、類比、歸納等邏輯性思考方法.概念教學是對歷史的重演，沿著前人足跡，學生經歷概念的自然生成過程.