關于“2018年全國卷Ⅰ文科第17題”的幾點思考

廣東 鄭榮坤

雖然教育部考試中心沒有明確說明：文科數學全國卷Ⅰ第17題是考查數列，還是考查三角函數.但是在近五年高考的命題中，除了2015年之外，其他年份的高考都是考查數列知識點.從這個角度來說，高三文科數學教師在高考備考過程中要重視數列的綜合問題.從高考試題的命題風格來看，近幾年的試題都讓考生感覺到“似曾相識卻不敢相認”，每年的試題都存在“平凡之中賦新意”，尤其是2018年的高考試題.

關于“2018年全國卷Ⅰ文科第17題”，筆者經過認真研究后有以下幾點思考，希望這些思考既有助于高中數學教師對2018年高考試題的研究，也有助于高三文科學生對2019年高考的備考復習.

一、試題呈現

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(Ⅲ)求{an}的通項公式.

【評注】本題雖然與往年一樣仍是以“等比”或“等差”為背景知識，但不僅在問題中加入了討論和層層遞進、逐步深入的多角度設問，而且充滿了探究的味道.不管是呈現方式，還是設問方式，本題都有所創新，充分體現了高考命題的創新導向.

二、關于2018年高考試題的幾點思考

1.為什么不去掉該題的第(Ⅱ)問？

筆者在自己所教的高三文科班級中提問學生：“如果去掉該題的第(Ⅱ)問，那么還有其他哪些方法來解答該題第(Ⅲ)問？”最后，學生們想出了以下兩種方法.

【評注】從以上學生的解答情況來看，如果去掉該題的第(Ⅱ)問，那么學生很難通過恒等變換，變換成等比型去求數列通項，只能采用累乘法或者猜想歸納的方法.雖然上述“解法二”通過列舉后不難歸納出數列的通項公式，但是由于大多數文科學生都沒掌握好“數學歸納法”，所以很多學生都沒辦法采用“解法二”去解決上述問題.由此可見，命題者在該題增加了第(Ⅱ)問，是明智之舉，不僅符合文科學生的做題習慣，讓不同層次的學生都有發揮的空間，還體現了新課標探究型的理念.

2.該題是否讓人有一種意猶未盡的感覺？

筆者做完本題，有一種意猶未盡的感覺.由于該題第(Ⅲ)問的結果是“等差乘以等比”型的數列通項公式，所以筆者認為，教師在習題教學的過程中可以繼續向學生追問.該如何繼續向學生追問呢？筆者在讓學生完成了本題之后提問：“你覺得還可以繼續解決什么問題？”學生回答說：“求和.”筆者繼續追問：“請大家認真思考怎么解決下列求和問題？”筆者發現，學生解決了這些問題之后，有一種盡興的感覺.

【拓展1】已知數列{an}滿足a1=1，nan+1=2(n+1)an，設Sn為數列{an}的前n項和.

(Ⅰ)求Sn；

(Ⅱ)設Tn為數列{Sn}的前n項和，求Tn.

解：(Ⅰ)解法一：由an=n·2n-1，所以Sn=1×20+2×21+3×22+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1, ①

2Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n, ②

由①-②可得，-Sn=1+2+22+…+2n-1-n·2n

=(1-n)·2n-1.

所以Sn=(n-1)·2n+1.

解法二：設an=(An+B)·2n-[A(n-1)+B]·2n-1=(An+A+B)·2n-1.

因此，Sn=0×21-(-1)×20+1×22-0×21+…+(n-1)·2n-(n-2)·2n-1=(n-1)·2n-(-1)·20=(n-1)·2n+1.

(Ⅱ)設數列{(n-1)·2n}的前n項和為tn，由上述方法可求得tn=(n-2)·2n+1+4，所以Tn=(n-2)·2n+1+4+n.

(Ⅰ)記Sn為數列{bn}的前n項和，求Sn；

(Ⅱ)由于bn=2n-1，

【評注】大多數學生雖然都能想到采用上述“解法一(錯位相減)”去求和，但是未能想到采用上述“解法二(裂項相消)”.實際上，采用上述“解法二”去求和也是非常方便的.由于該高考試題第(Ⅱ)問的結果是等比數列通項公式，所以筆者繼續讓學生求該數列的前n項和，并且進行完整的解答拓展，最終收獲了非常好的教學效果.

3.怎么對該題進行變式？

自從中國數學變式教學的鼻祖顧泠沅教授提出變式教學之后，變式教學就時常出現在數學解題教學之中，是獨具特色的數學教學方法.所以高考試題的精彩解題教學，離不開多角度的對高考試題進行變式.關于該如何對文科17題進行變式，才能更好地開展該題的解題教學，筆者認為，可以從以下幾個方面著手.

(1)類比改編

(Ⅰ)求數列{bn}的通項公式；

(Ⅱ)記Sn為數列{bn}的前n項和，求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數列.

=-2bn.

又由于b1=-a1=-1，所以數列{bn}是以-1為首項，-2為公比的等比數列，則bn=(-1)×(-2)n-1.

(Ⅱ)解法一：由于bn=(-1)×(-2)n-1，

解法二：由于Sn-Sn+1=-bn+1=(-2)n，Sn+2-Sn=bn+2+bn+1=(-1)×(-2)n+1+(-1)×(-2)n=(-2)n，所以Sn-Sn+1=Sn+2-Sn，則Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列.

(Ⅰ)求b1，b2，b3；

(Ⅱ)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(Ⅲ)求{an}的通項公式.

所以bn+1=2bn.又因為b1=3，所以數列{bn}是以3為首項，2為公比的等比數列.

(2)變換條件

【變式3】已知數列{an}滿足a1=1，nan+1=2(n+1)an+n2+n.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

(Ⅱ)設Sn為數列{an}的前n項和，求Sn.

Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n, ①

2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1, ②

【變式4】已知數列{an}滿足a1=1，nan+1=2(n+1)an+2n+1.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

(Ⅱ)設Sn為數列{an}的前n項和，求Sn.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，Sn=1×20+4×21+7×22+…+(3n-5)·2n-2+(3n-2)·2n-1, ①

2Sn=1×21+4×22+7×23+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n, ②

由①-②可得，

-Sn=1+3(21+22+…+2n-1)-(3n-2)·2n

=1-6×(1-2n-1)-(3n-2)·2n

=-5+(5-3n)·2n.

所以Sn=(3n-5)·2n+5.

(3)串聯不同的問題

【變式5】已知數列{an}滿足a1=1，nan+1=(n+1)an+2，設bn=an-5.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

(Ⅱ)求|b1|+|b2|+…+|bn|；

(Ⅲ)令Sn為數列{bn}的前n項和，求Sn的最小值；

(Ⅳ)令Tn為數列{(-1)n·an}的前n項和，求Tn.

則b1

(Ⅳ)解法一：由(Ⅰ)可知an=3n-2，則(-1)n·an=(3n-2)·(-1)n.

①當n為偶數時，

②當n為奇數時，

解法二：由(Ⅰ)可知an=3n-2，則(-1)n·an=(3n-2)·(-1)n.

Tn=1×(-1)1+4×(-1)2+7×(-1)3+…+(3n-5)·(-1)n-1+(3n-2)·(-1)n, ①

-Tn=1×(-1)2+4×(-1)3+7×(-1)4+…+(3n-5)·(-1)n+(3n-2)·(-1)n+1, ②

解法三：由(Ⅰ)可知an=3n-2，則(-1)n·an=(3n-2)·(-1)n.

設(-1)n·an=[A(n+1)+B]·(-1)n+1-(An+B)·(-1)n.

【評注】變式1和變式2是分別類比于“2017年、2018年全國卷Ⅰ文第17題”改編而成的；變式3和變式4都是變換了“2018年全國卷Ⅰ文科第17題”的條件而成的；變式5是為了串聯“數列”的不同問題，對上述高考試題進行變式而成的.該高考試題經過筆者采用不同方法進行變式，內容明顯更加豐富，考查的知識也更加全面.