談解析幾何背景下三角形面積公式的合理化選擇
——以一道解析幾何試題的多種解法為例

云南 馬孟華

三角形面積的計算對于學(xué)生來說是一個“既熟悉又陌生”的問題，熟悉是因為三角形的面積計算經(jīng)?！俺鰶]”在各種類型的試題中，幾乎每次數(shù)學(xué)考試都要跟三角形的面積“打交道”.但仍然有很多學(xué)生卻又覺得很陌生，原因就在于不同問題背景下需要選擇恰當(dāng)?shù)拿娣e計算公式才能順利解決問題，公式選擇不恰當(dāng)將會使計算變得繁瑣和復(fù)雜，進(jìn)而無法在有限的時間內(nèi)順利解決問題.三角形面積公式多，合理選擇就成為了關(guān)鍵，下面作者就以解析幾何為背景，通過對一道解析幾何試題的多維角度分析，從一題多解的方式入手闡述合理化選擇三角形面積公式的重要意義.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

【分析】此題為云南省下關(guān)第一中學(xué)2018年5月期中考試試題，第一問顯然沒有難到學(xué)生，第二問也比較常規(guī)，是高中階段解析幾何中常見的定值定點(diǎn)問題.但在閱卷過程中，第二問的得分率卻很低(筆者所在學(xué)校為云南省一級一等學(xué)校，生源較優(yōu))，究其原因，是學(xué)生在處理第二問時，三角形面積公式的選擇多種多樣，而不同面積公式背景下的計算復(fù)雜、難易程度又不盡相同，從而導(dǎo)致很多學(xué)生不能得到較好的分?jǐn)?shù)，此題背景下，合理選擇三角形面積公式才是快速解題的關(guān)鍵.當(dāng)然，閱卷過程中也有創(chuàng)新的思考與見解，如：利用三角形面積公式的向量形式求解、利用極坐標(biāo)方程求解、利用橢圓伸縮變換成圓求解，就這樣，作者從學(xué)生的“火熱思考”和“奇思妙想”中得到啟發(fā)，從多角度探究得到了處理該問題的多種方法，最終走向討論三角形面積計算的問題上來.

下面我們一起來看看該問題在不同視角下的解法探究.

視角一常規(guī)解析幾何定值問題，假設(shè)直線方程，寫出韋達(dá)定理，配合使用三角形面積計算基礎(chǔ)公式即可(通性通法)

綜上，△MON的面積為定值1.

視角二直線方程假設(shè)有技巧，簡化計算是方向

【分析】在解法一基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)假設(shè)直線MN的方程會使計算變得復(fù)雜、繁瑣，而有學(xué)生注意到直線OM,ON的方程較為簡單，故可嘗試將橢圓方程與直線OM(或ON)的方程聯(lián)立求出M,N的坐標(biāo)，進(jìn)而在△MON中可將OM(或ON)看作△MON的底邊，點(diǎn)N(或M)到直線OM(或ON)的距離也可求出，故可快速表達(dá)并計算出△MON的面積，解法如下：

故△MON的面積為定值1.

【評析】此法仍然延續(xù)使用了三角形面積的基礎(chǔ)公式，將研究的直線轉(zhuǎn)向了OM(或直線ON)，這樣計算得以簡化，同時也避免了對直線斜率的討論，但由于三角形的面積公式仍然使用了基礎(chǔ)公式，故計算并未變得簡單，加之很多學(xué)生由于計算能力和時間分配問題導(dǎo)致了有想法但未能完成復(fù)雜的計算而完整的求解該題.

縱觀上述兩個視角下的兩種解題過程，呈現(xiàn)了一種經(jīng)典的解析幾何求解方法：設(shè)直線方程→聯(lián)立方程組→寫出韋達(dá)定理→利用韋達(dá)定理求弦長→求其點(diǎn)到直線的距離→求三角形面積.解析幾何的經(jīng)典求解方法雖然凸顯了掌握解決問題的通式通法的重要意義，但卻只完成了思考層面的程序化的問題，接下來的計算問題卻是大多數(shù)學(xué)生最難逾越的障礙，這樣雖然思路清晰，但卻難以準(zhǔn)確解答此題.是否有更加行之有效的方法解決這個問題呢？當(dāng)然有，就是找到合適的三角形的面積公式.

視角三三角形面積公式的向量形式來助力

人教社新課標(biāo)A版《數(shù)學(xué)5》(必修)的第一章“解三角形”中，三角形的面積公式有了如下形式：

綜上，可得△ABC面積的向量形式為

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)為△ABC任意兩條邊所構(gòu)成的向量，則△ABC面積為

事實上，三角形面積公式的向量形式脫離了邊長、角度、高對三角形面積的束縛，只需三角形三個頂點(diǎn)構(gòu)成的任意兩個向量的坐標(biāo)即可，這同時也體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)解決幾何問題，而向量就是連接幾何和代數(shù)問題的橋梁.

在該面積公式的指引下，如果能夠找到△MON中點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，那么△MON的面積表示就變得簡單和直接.當(dāng)然，解析幾何背景下點(diǎn)M,N的坐標(biāo)簡單的假設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)是無法解決問題的.如果在橢圓參數(shù)方程的背景下將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)假設(shè)成為含參數(shù)的三角函數(shù)形式，那么問題是否就會有了轉(zhuǎn)機(jī)呢？下面我們來看看解法三.

故可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為M(2cosα,sinα),N(2cosβ,sinβ)，如圖所示，

由三角形面積公式的向量形式可知

【評析】由上述解法不難看出，在解析幾何背景下，三角形面積公式的向量形式的合理使用大大提升了解題效率！這當(dāng)然得歸功于：①三角形面積公式的向量形式將幾何三角形的面積問題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問題；②橢圓的參數(shù)方程又輕松實現(xiàn)了三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)的假設(shè)，這樣幾何問題實現(xiàn)了代數(shù)化，而代數(shù)形式下的三角面積問題又實現(xiàn)了三角函數(shù)化，而三角函數(shù)在解決函數(shù)最值、范圍等問題上又有其優(yōu)勢，自然就會提升解題的效率.從以上幾種解題方案不難看出，三角形面積公式的向量形式不僅高效，而且也能優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，實為一種解決三角形面積問題的好方法.

值得注意的是在閱卷過程中，也有極少數(shù)的學(xué)生解答卻是利用了向量外積的幾何意義進(jìn)行求解，向量的外積運(yùn)算不是高中數(shù)學(xué)所學(xué)內(nèi)容，但它卻在解決三角形面積問題以及立體幾何求解平面法向量中起到了重要的作用，而在學(xué)生層次較高的高中都會補(bǔ)充向量的外積運(yùn)算及其幾何意義，在此，作者也對該運(yùn)算進(jìn)行簡單的介紹.

a與b的外積記作：a×b，其也是一個向量，它的大小(模)為|a×b|=|a|·|b|·sin，方向根據(jù)右手法則確定，就是手掌立在a與b所在平面的向量a上，掌心向著b，那么大拇指所指方向就是a×b的方向，該方向垂直于a與b所確定的平面.如圖所示.

由定義可知，|a×b|=|a|·|b|·sin，故a與b的外積的大小即為以a與b為鄰邊的平行四邊形的面積，這就是向量外積的幾何意義.

不難看出，向量的數(shù)量積(內(nèi)積)和外積在表示三角形面積的向量形式上有“異曲同工”之妙，而此時教師也可順勢提出“行列式”這一抽象的數(shù)學(xué)概念，從而使得學(xué)生感知新知識的獲得是自然和合理的.在向量外積幾何意義的背景下，我們可以得到如下快速解法：

故可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為M(2cosα,sinα),N(2cosβ,sinβ)，

由向量外積的幾何意義可知

故△MON的面積為定值1.

視角四橢圓極坐標(biāo)方程下的三角形面積計算

設(shè)點(diǎn)M,N的極坐標(biāo)分別為M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)，故有

這里由于cosθ1·cosθ2=-4sinθ1·sinθ2，故8sin2θ1sin2θ2=-2sinθ1cosθ1sinθ2cosθ2，

故△MON的面積為定值1.

【評析】在橢圓極坐標(biāo)方程的形式下，三角形的邊長可以用極徑來表示，兩邊的夾角可以用極角來表達(dá)，這樣三角形的面積就可快速轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的極徑和極角的表達(dá)式(當(dāng)然，這里的三角形的一個頂點(diǎn)必須是原點(diǎn))，之后結(jié)合點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足橢圓的極坐標(biāo)方程，再將極徑轉(zhuǎn)化為極角的三角函數(shù)形式，最終在極坐標(biāo)系下將三角形的面積化歸為一個純?nèi)呛瘮?shù)的問題，間接的考查了學(xué)生運(yùn)用三角公式進(jìn)行化簡運(yùn)算的能力.然而，本題涉及的諸多三角公式及其技巧太多，故此法不宜采納，但對于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力和理解能力還是具有一定的價值.

視角五伸縮變換，橢圓變圓，巧解三角形面積

解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題，它的本質(zhì)仍是幾何問題，如果在解題過程中充分挖掘并運(yùn)用幾何性質(zhì)，是一個非常好的簡化運(yùn)算方法.我們知道橢圓經(jīng)過伸縮變換可以轉(zhuǎn)化為圓，而圓具有豐富的幾何性質(zhì)且計算圓中三角形的面積比較容易，這樣就有了如下的解法.

根據(jù)伸縮變換前后封閉圖形的面積比不變，故由前面的伸縮變換可知S△MON:S△M′ON′=2∶1，

從而得到S△MON=1，故△MON的面積為定值1.

【評析】在伸縮變換下，此題中三角形面積計算問題轉(zhuǎn)化為了圓中利用兩鄰邊與夾角的正弦的乘積來求解，而恰巧的是經(jīng)過伸縮變換后三角形MON在圓中變換為了直角三角形，面積計算又回到了原始定義上，更加地簡化了計算，提高了效率.以上伸縮變換的方法其實來源于仿射變換的觀點(diǎn)，初等幾何的幾何圖形經(jīng)仿射變換后，圖形有了變化，但有部分性質(zhì)和某些量是保持不變的，如：變換前后平行線段長度比不變、面積比不變、斜率比不變等，這些不變量和不變性為初等幾何的一些問題的解決(如求解和證明)提供了新的方法，使問題的解決變得更為直觀和快捷.

總結(jié)基于解析幾何背景下的三角形的面積問題、定值定點(diǎn)問題均屬解析幾何中的經(jīng)典問題，解決此類問題就必須“理清思路，簡化計算”，而該題不同視角下的不同解題策略的核心就在于：一是要合理使用三角形面積公式，即三角形面積公式多，合理選擇是關(guān)鍵；二是在不同的三角形面積公式下要恰當(dāng)?shù)倪x擇不同的知識體系和方法來支撐面積的計算問題，突破或規(guī)避計算上的難點(diǎn)和障礙才能有效地解決問題，最終提高解題效率.