求圓錐曲線“離心率”的基本方法

福建 黃清波

橢圓或雙曲線的離心率問題一直都是高考的一個命題熱點，其題型綜合性較強，靈活多變，難度大.主要考查考生對知識的熟練掌握和靈活運用的能力，及對數學思想和方法的掌握程度.解決這類問題的基本方法：利用離心率定義求離心率；借助圓錐曲線定義求離心率；結合試題的幾何特征,數形結合建立關于a,c的齊次方程求離心率.本文以2018年福建省高三畢業班理科質檢第15題為例展開探究，側重分析如何借助圓錐曲線定義和數形結合(代點法)求離心率，希望對師生今后學習有一定啟發.

一、試題再現

【命題分析】本題以圓、雙曲線為載體，考查雙曲線的定義、標準方程及其簡單幾何性質等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想等，難度較大.考生由于不會利用雙曲線的定義并結合圖形特點得到離心率滿足的方程，或找不到點P的坐標代入雙曲線方程得到離心率滿足的方程，或計算煩瑣等，導致得分率極低.

二、解法探究

1.定義法

【第一定義法】雙曲線的第一定義:平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.如圖，本題由雙曲線與圓均關于x軸對稱，得到△APQ為正三角形，由此求出|PF|，再設雙曲線的左焦點為F0，利用雙曲線的定義求出|PF0|，然后在△PFF0中利用余弦定理解決問題.

【點評】利用圓錐曲線定義求離心率需要我們對定義背景、本質內容深刻理解，并結合圖象特征巧妙利用已知的等量關系建立齊次方程求解.同時也告訴我們，在高三的復習過程中，應有意識地回歸教材，注意挖掘教材中典型例題、課后習題中所蘊涵的重要結論或數學思想方法，發揮教材價值，才能有效對接高考.

2.代點法

由圖形的幾何特征，數形結合，得到點P的坐標，并代入雙曲線的方程便可解決問題.

【解法5】設PQ與x軸交于點B，由圖形的幾何特征，易得∠PAF=30°，∠PFB=60°，

【點評】利用代點法解答過程同樣簡練，體現數形完美結合，利用等量關系出奇制勝解決問題.所以我們在解題教學中，提倡一題多解的同時，還要尋求解題方法的最優化，提出解決問題的通性通法，才能擺脫題海，事半功倍.

三、試題鏈接

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【解法1】(定義法)如圖所示，可設∠PF1F2=θ,則由PF1=2ccosθ，PF2=2csinθ，

由雙曲線定義PF1=PF2+2a可得2ccosθ=2csinθ+2a，

即ccosθ-csinθ=a①，

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四、試題啟示

橢圓或雙曲線的離心率相關題型的命題思路：橢圓或雙曲線的定義與平面幾何的性質相結合，或者把圓錐曲線上的點的坐標與參量a,b,c分離出來，然后根據其坐標的范圍得到離心率的值或取值范圍.

橢圓或雙曲線的離心率相關題型的解題思路：解題的關鍵是根據題設條件，充分利用橢圓或雙曲線的定義、幾何性質和圖形特征，借助a,b,c之間的關系，構造關于a,c的齊次等式或不等式，進而得到關于e的方程或不等式，通過解方程或不等式得出離心率e的值或取值范圍.