把脈導數問題中的十三個易錯點

2019-04-24 07:47:40四川蔡勇全

教學考試(高考數學) 2019年2期

四川蔡勇全

導數是高中數學的重要內容，也是歷年高考考查的熱點，還是學生學習中的難點，學生在解決導數問題時，由于對基礎知識掌握得不全面或對題意理解得不準確而造成錯解的現象屢見不鮮，本文結合實例對這些常見易錯點進行剖析，供大家參考.

一、對導數的“定義式”理解不透徹而致錯

二、忽視導函數與原函數的關系而致錯

【例2】已知函數f(x)的導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)的極小值點共有

( )

A.1個 B.2個

C.3個 D.4個

【錯解】不妨設圖中區間(-2，-1)內的極值點為a，區間(-1，0)內的極值點為b，易知函數f(x)的單調遞減區間為(-3，a)，(b，0)，(1，3)，單調遞增區間為(a，b)，(0，1)，所以函數f(x)的極小值點為x=a，0，故應選B.

【剖析】對可導原函數及其導函數兩者圖象之間的關系理解不夠深入造成了上述將f(x)與f′(x)的單調性混為一談的錯解，事實上，可導原函數及其導函數兩者圖象之間有如下關系:①導函數的零點即為原函數的極值點；②導函數值的符號與原函數的單調性之間的關系——原函數看增減，導函數看正負.

【正解】根據f′(x)≥0(f′(x)≤0)可確定函數f(x)的單調區間如下:f(x)的單調遞增區間為(-3，-2)與(-1，2)，單調遞減區間為(-2，-1)與(2，3)，所以函數f(x)的極小值點為x=-1，故應選A.

三、對復合函數的求導法則理解不到位而致錯

【例3】函數y=ln(tan2x)的導數y′=________.

【剖析】錯解1機械套用了基本初等函數y=lnx的求導結果.錯解2把tan2x當成了基本初等函數，實際上tan2x是復合函數.

四、混淆“過某點的切線”與“在某點處的切線”而致錯

【例4】求曲線f(x)=x3-3x2+2x過原點的切線.

【錯解】因為f(0)=0，所以原點在曲線f(x)上.易知f′(x)=3x2-6x+2，則所求切線的斜率k=f′(0)=2，故所求切線的方程為y=2x.

【剖析】曲線“在某點處的切線”是指過該點且以該點為切點的切線，從而該點也必須是曲線上的點；“過某點的切線”則不一定以此點為切點，該點也不一定在曲線上，因此所求切線可能不止一條.

【正解】f′(x)=3x2-6x+2，設切線的斜率為k.

當切點是原點時，k=f′(0)=2，則所求切線的方程為y=2x；

五、對“連續”與“可導”的關系理解不清而致錯

【例5】函數y=f(x)在x=x0處可導是函數y=f(x)在x=x0處連續的

( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

【錯解】要么認為“連續”與“可導”是同一個概念而錯選C，要么對可導與連續互為前提時的充分、必要關系理解不清而錯選B.

【正解】函數y=f(x)在x=x0處可導是函數y=f(x)在x=x0處連續的充分不必要條件，故應選A.

六、混淆某一點處的導數值與導函數之間的關系而致錯

【例6】若函數f(x)=(x+2)log2x，則f′(2)=________.

【錯解】因為f(2)=(2+2)log22=4，所以f′(2)=(f(2))′=4′=0.

【剖析】函數f(x)的導數f′(x)可以用(f(x))′表示，它們的含義是一樣的，故f′(x)=(f(x))′，但是，函數f(x)在點x=x0處的導數值f′(x0)卻不能用(f(x0))′表示，這是由于(f(x0))′代表函數值f(x0)的導數，即常數的導數，當然等于0，因而它們的含義是不一樣的，正確的關系是f′(x0)=f′(x)|x=x0.

七、誤認為極值只能在導數為0處取得而致錯

如果求上述函數的最值，那么應將f(-1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)中的最大者作為函數f(x)在[-1，3]上的最大值，最小者作為函數f(x)在[-1，3]上的最小值.此外，對于函數極值的認識，僅局限于例7的“剖析”中的三點說明是不夠的，為了進一步認識極值，請看下文例8.

八、誤認為導函數為0的解一定是極值點而致錯

【例8】函數f(x)=(x2-1)3+2的極值點是

( )

A.x=2 B.x=-1

C.x=1,-1或0 D.x=0

【錯解】易知f(x)=x6-3x4+3x2+1，令f′(x)=6x5-12x3+6x=0，解得極值點為x=1，x=-1，x=0，故應選C.

【剖析】對于在定義域上的可導函數f(x)，x=x0是f(x)的極值?f′(x0)=0且在x0的左右附近區間上的導數值異號.由此可以看出，對任意函數(含可導函數)來說，導數為0處不一定取得極值，比如函數y=x3在x=0處導數為0，但檢驗發現，在x=0的附近兩側的導數值均為正，即在x=0的附近兩側均單調遞增，所以x=0不是極值點.正是由于未對導函數為0的解進行檢驗，分析其附近兩側的導數值的正負情況，才造成了上述錯解.

【正解】f′(x)=6x5-12x3+6x=6x(x+1)2(x-1)2，當x<-1時，f′(x)<0；當-10；當x>1時，f′(x)>0.函數f(x)在區間(-∞，-1)，(-1，0)上均單調遞減，在區間(0，1)，(1，+∞)上均單調遞增，則x=0為極小值點，x=1與x=-1都不是極值點，故應選D.

九、忽視原函數的定義域而致錯

【例9】設函數f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a≥-1，試討論函數f(x)的單調性.

當a=0時，由f′(x)>0解得x<-1，由f′(x)<0解得x>-1；

【剖析】單調性是函數的局部性質，單調區間是函數定義域的子集，求單調區間時應先確定函數的定義域，再來解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，這就是定義域優先原則.事實上，所有函數問題的解決都應在定義域背景下進行，上述錯解正是忽視了原函數的定義域所致.

十、對函數單調性的充要條件理解不清而致錯

十一、混淆“函數在區間D上單調遞增(減)”與“函數的單調遞增(減)區間是D”而致錯

【例11】已知函數f(x)=x3-mx2+2m2-5(m<0)的單調遞減區間是(-9，0)，求實數m的值.

【剖析】“函數在區間D上單調遞增(減)”與“函數的單調遞增(減)區間是D”是兩個不同的概念，前者中的區間D不一定是函數的單調遞增(減)區間，但一定是單調遞增(減)區間的子區間，后者是指函數“在且僅在”區間D單調遞增(減).若把題目改為“若函數f(x)=x3-mx2+2m2-5(m<0)在區間(-9，0)上單調遞減，求實數m的取值范圍.”，那么，上述解法就是正確的，改了之后的題目還可有如下另解: