探求命題規(guī)律，提高備考效率
——談2019年多面體與球切接問題的備考策略

云南 唐明超 廣東 潘敬貞

全國卷命題具有一定的穩(wěn)定性和延續(xù)性，研讀課程標(biāo)準(zhǔn)、考試說明，研究真題，探求命題規(guī)律，找準(zhǔn)復(fù)習(xí)要點(diǎn)，正確把握每一個考點(diǎn)復(fù)習(xí)的度，合理分配時間與精力是高效備考的基本前提與保證；多面體與球切接問題長期以來深受全國卷命題者的青睞，一度出題頻率較高.探求多面體與球切接問題的命題規(guī)律，科學(xué)制定備考策略，對提高備考效率有重要意義.

1.解讀課程標(biāo)準(zhǔn)與考試說明

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)明確了立德樹人的根本任務(wù).立體幾何內(nèi)容明確要求，要知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題，重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

課程標(biāo)準(zhǔn)對球這一知識點(diǎn)只要求了解其表面積與體積公式，并沒有上升到理解和掌握的層面，而且2018年全國統(tǒng)一考試大綱的說明中對該部分知識點(diǎn)沒有做過多的描述，基本上保持與課程標(biāo)準(zhǔn)一致，只是解讀了“了解”的含義，即對所列知識點(diǎn)有初步的、感性的認(rèn)識，知道知識內(nèi)容是什么，按照一定的程序和步驟進(jìn)行解答，并能(或會)在有關(guān)的問題中識別和認(rèn)識它即可.但是，多面體與球的切接問題是考查球與多面體的交匯點(diǎn)，通過考查想圖、畫圖，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，最終達(dá)到考查空間想象能力和直觀想象核心素養(yǎng)的目的.因此在復(fù)習(xí)多面體與球的切接問題時，需要掌握基礎(chǔ)知識和基本方法，著重對想圖、畫圖能力的培養(yǎng)，這一點(diǎn)在2017年、2018年的全國高考試題中體現(xiàn)得尤為明顯.

1.1考題解析

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考點(diǎn)解析：題目與課程標(biāo)準(zhǔn)要求和考綱要求完全一致，試題以三棱錐與球的外接問題為背景考查三棱錐的體積公式，在題目的呈現(xiàn)過程中并不直接考查體積公式的簡單計(jì)算，而是將三棱錐的高作為變量，要求考生找到三棱錐何時體積最大，將靜止的公式賦予生機(jī)，考查學(xué)生想圖、畫圖，分析問題、提出問題并解決問題的能力，體現(xiàn)了命題的能力立意和數(shù)學(xué)素養(yǎng)立意，很好地考查了學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

解答本題，首先明確要運(yùn)用錐體的體積計(jì)算公式求體積，其次是通過想圖和畫圖，找到題目中不變的量是三棱錐的底面的面積，變量只有三棱錐的高，通過想圖、畫圖可知，三棱錐高的最大值是球心到底面的距離加上球的半徑，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求球心到截面的距離，求球心到截面的距離是立體幾何中較為常見的模型，構(gòu)造直角三角形易得其解.

解法2：本題還可以采用補(bǔ)體的思想將三棱錐放回正方體中去，三棱錐的底面的三條棱恰好是正方體相鄰三個面的面對角線，球就是正方體的外接球.這也是解決多面體與球的切接問題較為常用的方法，解答過程略.

解法3：既然可以將其放回正方體中，就一定能建立空間直角坐標(biāo)系，直接用坐標(biāo)法解決點(diǎn)到平面的距離問題，解答過程略.

1.1.2(2017·全國卷Ⅲ·理8文9)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為

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考點(diǎn)解析：本題考查球與圓柱的切接問題，解決問題的一般思路是先找到球心，進(jìn)而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求出球的半徑，最后利用公式計(jì)算求解.

由以上兩年高考題可以看出，命題者嚴(yán)格按照課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說明的要求進(jìn)行命題，題目難度屬于中等難度甚至偏下，考查的基本模型變化不大，這就提示我們高考備考只需要圍繞典型的多面體如錐體、柱體等與球的切接問題中的常見模型進(jìn)行復(fù)習(xí)歸納即可，掌握一般規(guī)律與基本思想方法，遠(yuǎn)離偏、難、怪題，這樣一來就不會掉入題海，更不會深陷其中，而且還會大大地提高備考效率.

2.多面體與球切接問題的常見模型與解決策略

2.1三棱錐兩個面互相垂直的模型

2.1.1(2017·全國卷Ⅰ·文16)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________.

考點(diǎn)解析：要求球的表面積，關(guān)鍵是要求球的半徑，就要通過想圖、畫圖尋找三棱錐與外接球的幾何關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，根據(jù)幾何關(guān)系和數(shù)量關(guān)系最終解出球的半徑.

方法總結(jié)：解答本題的關(guān)鍵是通過想圖、畫圖，再利用點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，尋找?guī)缀侮P(guān)系，常常是構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)確定半徑.

2.2三棱錐三條棱兩兩互相垂直的模型

2.2.1(2017·全國卷Ⅱ·文15)長方體的長，寬，高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為________.

可以將2.2.1適當(dāng)改編得2.2.1.1如下.

2.2.1.1已知球O的表面上有P，A，B，C四點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，若PA=PB=PC=a，求這個球的表面積和體積.

方法總結(jié)：根據(jù)題目要求，三條棱兩兩互相垂直時，可還原為長方體，利用長方體的體對角線等于外接球的直徑，得出球的半徑，充分體現(xiàn)出補(bǔ)體思想的實(shí)用性.

從以上分析可以看出，多面體與球的切接問題往往以常見的幾何體為載體呈現(xiàn)，涉及線線兩兩垂直可以考慮還原為長方體，三棱錐的側(cè)面與底面垂直也可以考慮還原為長方體，三棱錐的側(cè)面與側(cè)面垂直可以利用點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系構(gòu)造直角三角形.形式變化不大，容易掌握，所以教學(xué)過程中，重在模型化思想的滲透，培育數(shù)學(xué)抽象和幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.立足高考真題，尋找一般規(guī)律

3.1(2016·全國卷Ⅱ·文4)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為

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C.8π D.4π

3.2(2015·全國卷Ⅱ·理9文10)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為

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A.36π B.64π

C.144π D.256π

3.3(2016·全國卷Ⅲ·理10文11)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是

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4.備考策略及建議

4.1回歸本質(zhì)，掌握基礎(chǔ)知識

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)要求，了解并熟記錐體、柱體、球的體積公式和面積公式，會正確使用公式進(jìn)行計(jì)算，學(xué)會分析公式中幾何量間的相關(guān)關(guān)系；掌握處理多面體與球的切接問題的一般步驟，即找球心、找半徑、用公式.同時也要加強(qiáng)想圖、畫圖能力的培養(yǎng)，能根據(jù)題意正確畫出幾何圖形，轉(zhuǎn)化求解“模型”，提高解題效率.

4.2掌握多面體與球的切接問題的常見模型

將問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造常見模型，使幾何問題模型化，再尋找?guī)缀文Ｐ椭械牡攘筷P(guān)系，利用函數(shù)與方程思想，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

4.3加強(qiáng)對高考真題的研究，適當(dāng)變式探究

研究高考真題、挖掘真題內(nèi)在價值是跳出題海的重要途徑，也是高考備考的重要策略.多面體與球的切接問題就極具代表性，首先題目難度不大，其次題目呈現(xiàn)方式相對穩(wěn)定，均可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化與化歸，將其變?yōu)槭熘哪Ｐ瓦M(jìn)行解答，在研究真題的過程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪教骄靠蛇M(jìn)一步熟練求解球心的位置和半徑，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力，提高解題能力.