深度鉆研 明確考向
——2019年數學《考試說明》解讀

福建 湯小梅

對照2019年和2018年的《普通高等學校招生全國統一考試大綱說明》(以下簡稱《考試說明》)，可以發現理科數學和文科數學的考核目標、能力要求、題型等均保持不變，理科數學和文科數學的考試范圍仍然保持不變，這說明2019年高考理數與文數的命題會保持相對穩定，在新一輪高考改革到來之前，以平穩過渡的方式進入新課改.2019年高考數學的核心考點仍然是三角與數列、立體幾何、解析幾何、統計與概率、函數與導數、選考內容(坐標系與參數方程、不等式選講)，小題熱點仍將是：集合、復數、三角函數的圖象和性質、三角恒等變換、雙曲線或拋物線的圖象和性質、空間幾何體的表面積和體積、解三角形、數列、導數的幾何意義、統計等.現一起走進2019年《考試說明》，細讀、細悟其信息，深入地領會考綱精神，更好地把握備考的重點和方向.

一、對知識要求和能力要求的解讀

對知識的要求依次是了解、理解、掌握三個層次.莫輕視要求僅為“了解”的知識——高考命題不拘泥于考綱.例如：球、棱柱、棱錐的表面積和體積的計算雖為“了解”的內容，但在高考中幾乎每年必考；雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程及其簡單幾何性質，雖為“了解”、“知道”的內容，但在高考的客觀題中是常考的內容.要求為“理解”與“掌握”這兩個層次的知識點是高考命題者的首選.尤其是要求“掌握”的內容，往往成為命題者進行深度命題的“桃花源”，所以在備考中要多加重視，要強化訓練.

《考試說明》堅持對五種能力和兩種意識的考查，即對空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識和創新意識的考查，這是數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養在高考中的體現.這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體.需特別關注“背景新穎化、考點綜合化”的試題，例如：數學建模問題、新定義問題，或者利用模塊知識之間的聯系來綜合命題，此類試題雖然都有一個新鮮的“包裝”，但是只要學會脫去“包裝”，還原其本來真面目，結合已有的基礎知識和基本技能，即可自然而然地解決此類問題.

二、考試范圍與要求的解讀

下面根據高三第二輪、第三輪復習的特征，對考試范圍與要求分知識塊進行解讀.

(一)集合與常用邏輯用語、不等式

1.集合的考查注重基礎知識的考查，常與函數、方程、不等式等知識相結合，在知識點的交匯處命題.重點考查補集、交集或并集的綜合運算，常以選擇題的第1小題或第2小題的形式呈現.還需關注以點集為背景的集合的基本運算與集合的子集個數問題的運算.

注意：元素與集合之間是屬于或不屬于的關系；而集合與集合之間則是包含與不包含的關系.學會子集與真子集的區別與聯系，并且會求給定有限集的子集個數.

2.常用邏輯用語注重基礎知識的考查，在高考中屬于容易題，一般在選擇題或填空題的位置，主要考查三種類型：四種命題的真假與它們的關系識別、充分條件和必要條件、含有量詞的命題的否定.所綜合的知識常是集合、不等式、立體幾何等基礎內容，具有一定的新穎性.

3.簡單線性規劃問題是歷年高考必考點，這部分的內容常考查線性目標函數的最優解，一般不難，一定要把這些分值收入囊中！基本不等式主要滲透在函數、數列的最值問題中，要求不是很高，但要高度重視.

(二)平面向量、復數、算法、推理證明

1.平面向量的考查主要類型：一是向量的線性運算；二是向量的數量積；三是向量平行與垂直的充要條件的應用；四是向量與三角、解析幾何、導數等相交匯時，突出向量的工具性作用.平面向量的坐標表示和運算是把向量由“形”往“數”轉化的關鍵，所以考綱的要求比較高，一定要給予靈活應用.

注意：特殊向量的概念，尤其是零向量，不可忽視.區別用坐標表示的平面向量平行與垂直條件，不要搞混.

2.對復數的考查，難度一般為容易，常在選擇題或填空題的前兩題的位置呈現，常考查以下三種類型：一是復數的四則運算，特別是除法運算；二是復數的概念，如實部、虛部、共軛復數等；三是復數的幾何意義.

3.算法初步的命題重點是程序框圖的三種基本邏輯結構，而“條件結構”與“循環結構”則是重中之重.常考查三種類型：輸出問題(最常考)、補全問題、功能問題，且都在選擇題或填空題中出現.

4.合情推理中的歸納推理和類比推理都是高考命題的重點和熱點.常在填空題的壓軸題中呈現.分析法和綜合法都是解題中常用的方法，綜合法是由因導果，分析法是執果索因.在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.

理數“能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題”這個要求主要體現在數列的解答題中.雖然要求是“能”，但高考考查的概率較低.

(三)函數與導數

1.函數概念與基本初等函數Ⅰ(指數函數、對數函數、冪函數)

(1)對數函數、分式函數、根式函數的定義域可能隱含在函數的每一道考題中，務必警惕！

(2)求解分段函數的函數值應先確定自變量的取值范圍，然后代入相應的函數的解析式去求解.對于含有“多層”的函數的求值問題，如f(f(a))，一般需“由內層往外層”計算.

注意：分段函數常與指數、對數的運算問題相結合，要注意對數、指數的運算規律.

(3)指數函數的圖象和性質往往與其他知識相結合命題，如常與導數相結合，以壓軸題的形式呈現.不要忽視其底數對函數單調性的影響！

(4)對數函數的圖象和性質常以客觀題的形式呈現.對數函數的圖象要會畫，這是利用數形結合法解題的基本要求，當然也不要忽視對數函數的定義域、底數對函數的單調性的影響等.

注意：需關注對數的運算與化簡，特別是換底公式與冪函數的運算問題！

(6)零點問題是高考命題的熱點，函數的零點通常與函數的單調性、奇偶性、周期性等相結合，背景多樣化，常與方程的根、兩函數的圖象的交點等交匯考查，有時以中檔題呈現，有時以壓軸題的形式呈現.

2.導數及其應用

有關導數的小題其考查重點在于導數的運算與幾何意義、利用導數判斷函數的單調性、極值、最值等.有關函數與導數的解答題，側重于考查導數在函數中的應用，特別是利用導數來解決函數的單調性(多涉及含參函數的單調性)與極值、最值問題.特別是函數的最值，有關函數與導數的解答題常滲透這個考點，如把不等式恒成立問題、存在性問題轉化為構造函數，求函數的最值問題.

定積分近幾年都不涉及，是冷考點，只需會利用微積分基本定理求定積分的值，會利用定積分的幾何意義求定積分的值即可.

求可導函數單調區間一般先確定函數的定義域，再求f′(x)；令f′(x)>0(f′(x)<0)，得f(x)的單調遞增(減)區間.切記：如果一個函數具有相同單調性的區間不止一個，這些單調區間不能用“∪”連接，只能用逗號或“和”字隔開.若f(x)在區間D上單調遞增(減)，則f′(x)>0(f′(x)<0)在區間D上恒成立，注意“等號”成立的檢驗.

(四)三角函數、三角恒等變換及解三角形

1.三角函數的小題考查重點在于基礎知識：三角函數的解析式；圖象變換；兩域(定義域、值域)；四性(單調性、奇偶性、對稱性、周期性)；簡單的三角變換(求值、化簡及比較大小).

2.對三角恒等變換的考查，重點是三角函數求值，還要注意兩角和差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角公式的正用、逆用與活用，需關注輔助角公式在解題中的應用.

看清《考試說明》要求——“積化和差、和差化積、半角公式”，但對這三組公式不要求記憶，所以不要做無用功！

3.對解三角形的要求比較高——“掌握”、“運用”，該部分內容在解答題中，多以三角形為背景，把解三角形與三角恒等變換交匯考查，既需關注輔助角公式的應用，又需關注以四邊形為背景的考題.在小題中常與平面向量、解析幾何等知識交匯命題，是歷年高考的必考內容，務必要熟練把握.

(五)數列

1.高考對等差、等比數列的考查常以“一大”或“兩小”的形式呈現，小題多考查等差數列或等比數列的通項公式、前n項和公式，以及性質的活用；大題主要考查等差數列與等比數列交匯的內容，或數列的遞推關系式(可轉化為等差數列或等比數列)內容，或數列與方程的根、不等式等知識交匯.

注意：在等比數列求和時，要先判斷其公比是否為1！

2.解答題中，若給出數列的遞推關系式，此時第一小題多考查“判斷或證明數列為等差數列、等比數列”，只需會利用等差數列與等比數列的定義證明即可，備考復習時，不需拔太高的難度，定位為中檔或中偏低檔；此外，用分組求和法、裂項相消法，以及錯位相減法求數列的前n項和應給予重視.

3.已知數列的前n項和與第n項的關系式，求數列的通項與前n項和的考題也需熟練掌握.

(六)立體幾何

1.立體幾何初步

(1)三視圖問題是近年高考的“常青樹”，但需注意控制其難度，近幾年高考題的難度一般在中檔或中偏低檔，常以柱體、錐體、球體為背景來考查，有時選取以上兩種幾何體構成簡單組合體進行考查，多考查幾何體的表面積與體積求解問題.幾何體的三視圖的作圖規則是解決幾何體形狀的依據，“長對正、高平齊、寬相等”是解決幾何體度量的準則.

(2)空間線面位置關系的判斷經常以命題判斷的形式進行考查，也常與簡易邏輯相交匯進行考查，如判斷命題的真假，與充分必要性交匯等.難度一般為中檔.判斷空間中的線面位置關系時，要把平面幾何中的知識與空間中的線面關系區分開來，不要熬成“大鍋飯”，亂成一團.

(3)“空間線、面平行與垂直的判定和性質定理”是證明空間平行與垂直關系的主要依據，常以解答題的第一小問的形式考查.證明時，條件要全，結論才能準確，亂改或誤用條件，證明就會出現失誤.

(4)文科也需關注空間異面直線所成角、線面角的求解與應用，如2018年高考卷Ⅰ文科第10題就考查空間線面角的應用，2018年高考卷Ⅱ文科第9題就考查空間異面直線所成角的正切值的求解，此時多以長方體或正方體為背景呈現，并且都在小題的位置考查.

(5)建立適當的空間直角坐標系，準確求出點的坐標是應用空間向量解決立體幾何問題的基礎.

2.空間向量與立體幾何

空間向量法是證明空間線面位置關系、求解空間角與距離的強有力的工具.對空間向量與立體幾何體的考查，仍以空間幾何體的點、線、面位置關系，以及空間求角與求距離問題為主.還需關注空間幾何體的探索性問題、幾何圖形的展開與折疊問題、定值與最值問題等.難度屬于中檔.

利用空間向量法解決立體幾何題需“四會”，一會“建系”，即利用空間幾何體的結構特征建立空間直角坐標系；二會“求空間點的坐標”；三會“轉化”；四會“用公式”，熟記異面直線所成角、線面所成角、二面角的向量公式.

(七)解析幾何

1.平面解析幾何初步

(1)每條直線都有傾斜角,但不一定都有斜率.當直線與x軸垂直時，其傾斜角為90°，但其斜率不存在.在解決過定點的直線問題時，要根據斜率是否存在進行分類討論.

(2)直線常與圓錐曲線的位置關系相交匯，在解答題中考查，多考查直線方程的點斜式或一般式.此時應注意直線方程的應用條件和范圍.

注意：在應用直線方程的點斜式時，若直線垂直于x軸，其斜率是不存在的.

(4)直線和圓的位置關系中，常用幾何法和代數法.幾何法：利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系來判斷；代數法：先把直線與圓的方程聯立，再利用判別式來判斷.

2.圓錐曲線與方程

解析幾何在高考中的地位向來重要，一般一道小題、一道解答題.小題重基礎，一般是中偏低檔題，解答題一般是中等難度和較難題，整體呈中偏上的難度.分值基本在18分左右.直線與橢圓、拋物線位置關系的要求層次有所降低.對解析幾何的考查仍將重點考查橢圓、圓、拋物線的圖象和性質，特別是直線與圓錐曲線相交問題，而對雙曲線的考查仍會降低.需關注解析幾何的探究性問題、最值、定值問題，關注橢圓、拋物線、雙曲線交匯的試題.掌握圓錐曲線的簡單幾何性質，此類題便不攻自破.“理解數形結合的思想”，既要重視坐標法，還要注意圓錐曲線的特征，兩者結合求解.

(八)統計與概率、計數原理

1.統計

(1)“三圖”中的頻率分布直方圖與莖葉圖是考查重點，折線圖偶爾會涉及，常在小題或解答題中出現，若在解答題中呈現，此時文科多與“五數(眾數、中位數、平均數、方差與標準差)”、古典概型交匯，理科多與“五數”、分布列、期望等知識交匯.

(2)“提取基本的數字特征”的高頻考點是中位數、平均數與方差(標準差)的計算，注意由頻率分布直方圖求出其中位數、平均數與方差，常在小題中或解答題的第一小問中呈現.

(3)“理解用樣本估計總體的思想”，即樣本的數字特征近似與總體的數字特征相等.

2.概率

(1)“古典概型、互斥事件的概率加法公式”是高考考查的重點，常在解答題中與離散型隨機變量的期望相交匯呈現，難度多為中檔.

(2)對幾何概型的考查，常以選擇題或填空題的形式呈現，多考查一維與二維測度的幾何概型.此類題定準衡量的依據：長度、角度、面積還是體積.

(3)理科數學還需關注條件概率、獨立事件、對立事件的概率運算.

(4)概率與統計交匯的考題已經發展成為高考解答題的“盤中菜”，定要重視.常考以下四種類型：一是求離散型隨機變量及其分布列、期望、方差(特別是二項分布、超幾何分布、獨立事件的概率)；二是求線性回歸方程，預測變量的值；三是獨立性檢驗(2×2列聯表的應用)，《考試說明》中定位為“了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯表)的基本思想、方法及其簡單應用”，但我們在備考中應以掌握去應對，例如在2019年《考試說明》中，就添加了2018年卷Ⅲ理18、文18高考真題，該題把獨立性檢驗問題與莖葉圖、中位數等知識自然相交匯；四是隨機變量的概率、期望與統計相交匯；五是利用實際問題的直方圖，掌握正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，會求指定區間的概率.

3.排列組合與二項式定理

常以實際生活為背景，考查兩個計數原理與排列組合問題，常在選擇題、填空題、解答題中考查，在解答題中多與概率等知識相交匯.對于排列與組合交匯試題，常用“先組合后排列”策略，實際上就是先分類后分步的體現.

“二項式定理”要記準公式，記住規律.其命題重點：利用通項公式求指定項或指定項的二項式系數或指定項的系數、賦值求系數.

(九)選考內容

1.坐標系與參數方程

坐標系與參數方程的難度一般為中檔，常考以下三種類型：一是求曲線的方程，如求極坐標方程、參數方程、直角坐標方程或普通方程；二是求點的極坐標或點的直角坐標；三是直線與圓、橢圓、拋物線相交匯，判斷位置關系或求弦長等問題.

2.不等式選講