合情·究理·善用

丁愛平

[摘 要]小學數學教學應具有整體觀，以學生在中小學十二年數學學習的跨度為背景，對當下小學數學教學做出理性審視和創新實踐：合“情”入境，悅動數學學習的“第一感”；究“理”啟思，內煉理性精神；得法善“用”，用數學慧眼創造完整的學生世界。

[關鍵詞]中小學十二年；學習背景；小學數學教學

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0001-04

2018年的江蘇高考數學再掀熱議。家長有抱怨：從小到大，奧數、“學而思”培訓都上了，十二年的苦讀就是為了最后的分數啊。教師有遺憾：四輪復習，該講的都講了，最后的19、20題還是不理想，學生自主探究的能力太弱了。專家有解讀：江蘇高考數學重點考查學生的數學素養，關注學生的自主探究和創新思維。

不妨回到原點，為什么要學數學？

學好數學，決勝高考，進入理想的大學，這無可厚非。平心而論，高考機制下的人才選拔，應試是不可回避的，關鍵在于用什么樣的學習理念和方式來獲得成績。當然，學習數學的根本意義在于提升數學素養、立德樹人，在生活中善用數學的眼光發現問題、分析問題和解決問題。況且一個人的數學知識會日漸淡忘，而數學思想方法、數學文化、數學審美會在不知不覺中發揮作用，使人受益終身。

回到問題本身，訓練已經足夠多，學生的自主探究能力卻還弱，癥結在哪里？通過對學生的長線跟蹤，我發現原因是“三少”：少“情”、少“理”、少“用”。其一，學生為完成學習而學習，深度卷入得少，造成學習的熱動力和效能感不足。其二，拼命刷題，忙于做“事”，欠缺究“理”。不究“理”，知識點就顯得孤立、單薄、浮于表面，各知識板塊之間的“暗道”就不通，也就不能建構完整的知識結構，這是制約學生自主探究的主要原因。其三，只顧埋頭“學”，不善于抬頭“用”，符號學習不能上升為經驗學習，學得比較呆板，開拓性不夠。

因此，在學生十二年數學學習的跨度下，六年的小學數學教學應當合“情”入境、究“理”啟思、得法善“用”，為學生數學素養的發展奠基。

一、合“情”入境，悅動數學學習的“第一感”

第一感的本義是指人的“視、聽、嗅、味、觸”五種基本感覺中的視覺。至少有80%以上的外界信息經視覺獲得，視覺是人和動物最重要的感覺。數學學習的“第一感”，簡而言之是指學生看到的數學學習的“模樣”，這個“模樣”是學習情感的表達、數學知識的呈現、思維火花的激揚等。它所代表的是數學素養結構中的精神實體，例如數學情感、思維品質、價值判斷、審美追求等，是悅動學生數學學習的重要因素。

（一）數學課堂有溫情，尊重學生的“非數學語言”

一位教師在執教“分數的認識（一）”時，她哭笑不得——

師：現在有兩個蘋果，要平均分給兩個小朋友，應該怎么分？

生1：一人分一個。

師：把一個蘋果平均分給你們兩個（指著同桌兩個學生），應該怎么分呢？

生2：我倆一人一半。

生3：把我的一半給他，我不吃了。

師：這怎么行？這是數學課！好好想想應該怎么分？

（生3悻悻地坐下；教師立刻調轉頭，請其他學生說出“二分之一”，再沒有請她發言，也許是擔心她再爆“金句”。）

小學低年級課堂不像中學那樣純粹，會突然出現“非數學”的畫面。生3課后表示：同桌喜歡吃蘋果，吃半個太少，就再給他半個。學生的非數學語言情有可原，教師應該把學生思維、教師思維、數學思維進行巧妙地鏈接，不妨順勢說道：“小姑娘，你對同學真好！能用一個數表示你給他多少蘋果嗎？”揭示二分之一后，再接著說：“你不但會思考數學問題，還關心同學，我們都要向你學習！”這樣的教學不急不躁，溫情而美好。

同樣是“分數的認識（一）”的教學，意境迥然不同——

師：最早發明分數的是哪國人？

生1：中國！很多數學知識都是我們中國人發明的！

師：是啊，身為中國人，我們感到十分自豪！

生2：名字好奇怪，為什么叫分母、分子？（學生都很好奇）

生3：我知道。母是媽媽的意思，子是孩子的意思。

師：說得真好！那分數是怎么來的呢，咱們平均分一個東西，先分出了分母，再數出了分子。先有“媽媽”，再有“孩子”，你們看，“媽媽”把“孩子”高高地托在頭上。

（二）數學思維有激情，讓數學表征多飛一會兒

周衛東老師重構“分數的認識（一）”這一課也令人贊嘆。

師：豬八戒先吃了2個餅，又吃了1個餅，最后他想吃一小塊。“一小塊”是多大呢？

（學生拿出圓片，撕出了不同的“一小塊”（如圖1）。）

師：都是一小塊，為什么大小和形狀都不一樣呢？

生1：因為八戒說得不清楚，不明確。

（撕出的“一小塊”大小不同的這個設計，精妙之處在于從定性描述到定量刻畫，突出用分數表示部分與整體之間關系的必要性。）

師：八戒說：“我要的一小塊是這樣的，我畫給你們看一下。” （如圖2）

師：怎樣表示這個“一小塊”的大小，讓人一聽就明白？

（學生在白紙上自由表達自己的想法，然后介紹各自的作品；典型作品有：①一半的一半；②把一個餅分成了4塊，吃其中的1塊；③4分之1； ④[ 41]；⑤[ 14]。）

師：仔細觀察這些作品，你有什么發現？

生2：除了①號，其他的都有數字4和1。

生3：都是在分、分、分。

生4：后面三個都是分數。

生5：其實①號的“一半的一半”，也就是四分之一，4和1藏在里面。

生6：當然都在分啊，一小塊不是一個餅了，比一個餅少。

師：哦，是怎么分的呢？這4份是隨便分的？

生7：不是，要4份一樣大。

生8：要平均！

師：對，平均分。（在②號作品中添加文字“平均”）最后兩個數很有意思。

生9：我支持④號，很順。

生10：不對啊，我看到過的四分之一是和⑤號一樣，是倒著寫的！

生11：為什么要倒著寫啊？4和1中間為什么還有一橫？

這樣的數學課堂，“教”的色彩很淡，“探”的氣氛很濃，“為什么”很多，留給學生的空間很大，著力于發揮每個學生的主體性，挖掘每個學生的最大潛能，讓每個學生在求真、民主、合作、愉悅的良好氛圍中獲得預期的意義建構、能力提升以及全面發展。

（三）教學素材有“智趣”，體現少量主題的深度覆蓋

“必須用少量主題的深度覆蓋去替換學習過程中對所有主題的表面覆蓋，這些少量主題使得一些關鍵概念得到理解。”（摘自《人是如何學習的》）多練多講并非是提升數學素養的決定性因素。教師要基于學生立場，創編有故事性、數學性、思想性的教學素材，“以一當十”，智趣叢生、內蘊思想，從而激活學生的思維與想象、審美與情懷，悅動學生數學學習的“第一感”。

例如，“分數的認識（二）”的教學重點是讓學生認識一個整體的幾分之一。我設計了一個“春江水暖鴨先知”的童話故事作為鞏固練習情境。

畫面1：根據不同的“整體”發現若干分數。

畫面2：通過“游來一只小黃鴨”，引發學生逆向思考。

畫面3：通過“3只白鴨毛色不同”，再次凸顯一個整體的幾分之一的含義。

畫面4：通過“鴨媽媽在岸上呼喚小鴨們去看外婆”，引導學生思考12里面可以拿出幾個不同的幾分之一。

故事情節的推進，就是富有層次的思維推進，有情趣、有深度，既有用數學眼光發現問題、分析問題的智慧，又有潤澤學生心靈的人文情懷，感性與理性相融共生。

二、究“理” 啟思，內煉理性精神

克萊因博士說：“數學是一種精神，一種理性精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答有關人類自身存在和提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求已經獲得知識的最深刻的和最完善的內涵。”

（一）究“規則之下的道理”

“數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理及對完美境界的追求。”數學恒定的規則、嚴密的推理、抽象的概念都是數學內容的理性表達。

比如四則運算法則的教學，要讓學生體會到規則的合理性和必要性，數學的客觀性和嚴謹性。我的學生小信極有主見，有一天，他找我理論：“對于8+4-2=？我先算4-2=2，再算8+2=10，一點沒錯。對于8×4÷2=？我先算4÷2=2，再算8×2=16，還是對的。誰說同一級別的運算，非得從左到右算啊？”如何才能既保護學生的主觀意識，又讓他信服于數學的理性客觀呢？我先帶著他用畫圓圈的方式解答了這兩道題，再給出兩道題“8-4+2”和“8÷4×2”讓他回去琢磨。第二天，他用乘客坐汽車的故事把道理講得清清楚楚。

“不講規則，隨心所欲！”中學教師批評小學教師教得太散漫，導致中學生在做幾何證明時雜亂無章、漏洞百出，糾正起來特別費勁。小學教師辯駁：小學生的思維是形象具體、靈動浪漫的，如果一開始就“嚴謹、精細”，不就捆縛了他們思維的靈活性和創造性？我認為，數學的思維過程和結果表述同等重要。思維過程是粗放派，激勵學生敢于嘗試、打破常規思路，富有個性，尋求獨創；結果表述則是工筆，是濃縮的智慧，因為每一個式子、數據、符號都不是主觀臆想的，都有來龍去脈，都精準到位，以便高效地記錄、交流和傳播。

當然，探究“規則之下的道理”并不等于固守已有知識經驗。知識的不斷重構是數學思維發展的一個基本形式，教師可以結合數學史，讓學生自覺反思和更新已經建立的觀念。

（二）究“結構性關聯”

隨著年級的升高，數學知識的容量越來越大，學習節奏也越來越快。在高三的沖刺階段，學校已經不再統一安排學習時間，而是讓每個學生自主復習。這時，一直保持定期做知識整理、形成知識結構的習慣的學生學習效率特別高。因此，從小培養“結構化”意識尤為重要。

例如，教學一年級的10的分與合、10以內加減法、一圖兩式和一圖四式、含有括線的實際問題、解決實際問題，以及二年級的乘法和除法時，如果只是平鋪直敘這些知識點，學生的“知識倉庫”就會日趨擁擠凌亂，導致學生在解決問題時不能準確調用知識。

教師應站在廣闊的知識背景下，抓關聯、抓結構，對學生進行普遍聯系、運動變化、對立統一、量質互變等觀點的啟蒙。在一年級學完加減法之后，可以引導學生歸納出加減關系的分與合圖式，學完乘除法之后，再做補充。教學內容看似繁多，其實都可以統整為最上層的分與合圖式（如圖3）。對于加減、乘除之間相互獨立又相互依存的互逆性，以及加和乘、減和除之間的內在聯系，如果用模型圖揭示，學生就有了整體結構感，認知會更為清晰和理性。

（三）究“有理有據的批判”

一個具備優秀數學必備品格的人，不會盲目相信和照搬照抄，因為他具備了批判性思維。批判性思維是有目的的、自我調節的判斷。這種判斷表現為解釋、分析、評價、推斷，以及判斷的論據、概念、方法、標準或語境的說明，是一種不可缺少的思維形式。解放學生的大腦，讓學生勇于批判，是培養學生理性精神的重要手段。

例如，二年級的一道非常規試題：有一些蘋果，如果每盤放4個，最多放5盤，還有一點剩余。丁丁說：“這些蘋果如果每盤放6個，最多能放4盤。”他說得對嗎？把你的想法寫下來。（可以畫圖，可以寫算式，也可以用文字表述）

常言道：“思慮則得事理，得事理則必成功。”理性要求人們對客觀事物獲得全面的認知，完成“感性具體——理性抽象——理性具體”這一過程。這一過程對于小學生來說，是初步的感悟和初步的經歷。上述這道題顛覆了常規的有余數除法的命題方式，題目富含廣闊的思維空間，沒有刻板固定的答題模式，多元開放，有利于培養學生的批判性思維，提升學生的數學素養。

三、得法善“用”，用數學慧眼創造完整的學生世界

（一）“活學活用”——馥郁數學的生活味

史寧中教授指出，數學教育的終極目標是會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界。英國數學家懷特海在《教育的目的》中提出“教育只有一個主題，那就是五彩繽紛的生活”。在他看來，教育的最終目標并不是讓學習者掌握客觀的理論知識，而是通過對理論知識的學習，學習者能夠處理生活中遇到的各種問題，形成自己的生活體驗。

例如，習題：俊俊的學習和作息十分有規律。每天20：00睡覺，早晨6時起床。因為睡眠充足，他個兒長得高，有148厘米。俊俊和爸爸媽媽打算到南京南站坐火車去漢口旅游。圖4是俊俊在網上查詢的列車時刻表。

俊俊每天的睡眠時間有（ ）小時。俊俊從家到南京南站至少需要15分鐘，火車提前10分鐘停止檢票，俊俊一家最遲不得超過（ ）時（ ）分從家出發。火車在當天下午（ ）時（ ）分到達漢口火車站。根據網上的票務信息，怎樣購票最省錢？你認為合理的決策是

（ ）。

數學素養的提升，不是云端之舞，它應該滲透在日常的校園生活中。我常常引導學生帶著數學的眼光來過一種有意思的、有“數學氣質”的校園生活：統籌安排出操晨會、收發作業、打掃衛生等各種活動，預算人力和時間，筆算、估算隨時調用。我校每學期都指導學生開展“數學與生活”綜合實踐課程，每個寒暑假都開展“我的數學創意”假日小隊活動。“生活”這個大熔爐讓學生逐漸學會用數學慧眼發現、分析和解決問題。

（二）“無用之用”——擁抱長遠的發展

在迫切追求升學率的“征戰”中，教師常常會忽視一些看似“無用”實則“有用”的東西：閑暇與漫思，審美與情懷，思想與文化……其實，它們是推動學生長遠發展的生命力。關注“無用之用”，是一種理念、一種情懷、一種責任。

1.“舍不得”的閑暇漫思

有一些課的教學環節太多，密不透風。學生自主探究的時間以教師得到所要的答案為止，未完成的學生也只能停筆；小組討論剛進行短短一兩分鐘，教師就請學生發表意見，有的小組成員都沒來得及說話。可見，教師預設太多，干預太早，迫切要呈現“教”的精彩。

以“學”為中心才是小學數學課堂的走向，教師要舍得放手。如果放手讓學生自主探究，課堂的意外生成必然增多，必然會耗用大量教學時間，對此，教師要舍得給時間。在結論一時半會還不能水落石出之時，教師要按捺住挺身而出的沖動。在預設的答案出來之后，教師不妨再多等待一會，也許遲到的精彩正在路上：看到哪個學生埋頭沉浸在自己的世界里，在點名批評他之前，不妨再忍耐一會，說不定他有獨特的想法 。

2.“考不到”的人文情懷

考什么就教什么，怎么考就怎么教，這種“唯應試”的功利化的教學觀依然存在。慢下來，把短期績效的壓力放下來，細細打量每一個數學內容，看似抽象、冷峻的數學知識，如果讓它自由地呼吸外面的空氣，它也會很豐富、很靈動、很浪漫。

例如，教學“圓的面積”時，我在課尾果斷拿掉一道拓展題，改為播放經典繪本《丟失的一角》。這個繪本無關圓面積公式的計算，看似“無用”，但是蘊含其間的文化、人文情懷、人生哲學值得教師和學生回味一輩子。

3.暫時“用不上”的數學思想

一年級的數學知識簡單、內容少，很多學生早就學會了10以內加減法。怎樣把“簡單”變得“豐富”？我把數學家張景中先生的一則科普介紹創編成一節課——《有趣的加法線》（如圖5）。

在這場神奇的“數形結合之旅”中，學生十分驚嘆：原來在方格紙上也能做加法；0+5、1+4、2+3、3+2、4+1、5+0都在同一條斜線上，它可以命名為“5的加法線”；為什么越往右加法線越長？為什么那么多加法線依次排開不碰頭？有減法線嗎？……學生的問題層出不窮。數學思想與文化、邏輯與推理，這些一年級學生暫時“不會用”的“無用”之材，若隱若現，潤物細無聲。

杜威說：“教育的目的就是生長。”小學數學教學應該賦予學生生長的力量，合“情”入境、究“理”啟思、得法善“用”，讓每一個學生都能在未來的3年、6年，乃至一生的學習中快樂求索。

（責編 金 鈴）