三角形垂心的一個有趣性質
——兼擂題(121)的解答

重慶市長壽龍溪中學 (郵編：401249)

《中學數學教學》2019年第1期上的擂題(121)是趙忠華老師提供的一個有趣的幾何問題：

擂題(121) 設H是△ABC的垂心，J為BC的中點，點M，N在邊BC上，BM=CN，且B，M，N，C四點按此順序排列．過H且垂直于HM的直線交AB于點E，過H且垂直于HN的直線交AC于點F，則JH⊥EF.

下面我們用坐標法證明這個命題．

證明如圖1，設AO是△ABC的BC邊上的高．

圖1

以BC所在直線為x軸，以AO所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．易知(R為△ABC外接圓半徑)：

A(0，2RsinBsinC)，B(-2RcosBsinC，0)，C(2RsinBcosC，0)，H(0，2RcosBcosC)．

則BC的中點J為(Rsin(B-C)，0)．

又設M(-2RcosBsinC+m，0)，N(2RsinBcosC-m，0)(其中m≠a=2RsinA)．

而EH⊥MH，可求得HE的方程為：

x(2RcosBsinC-m)+2yRcosBcosC=4R2cos2Bcos2C．

又，AB的方程為：

xsinB-ycosB=-2RsinBcosBsinC．

解得兩直線的交點E的坐標為：

同理可得F的坐標為：

注參數m不能取a(否則題設中的E，F將不存在)，除此外，m可取其它任意實數值．這表明：擂題中只需M，N在直線BC上且關于J對稱(但不能與B，C重合)即可，不必限定為圖1中的順序．

下面給出該擂題的若干有趣推論．

推論1 如圖1，在擂題(121)條件下，△MHE與△NHF反向相似．

顯然，上式左邊兩向量的夾角與右邊兩向量的夾角相等，因此有：

由此易知：△MHE∽△NHF．

而它們的對應頂點繞向相反，所以是反向相似．證畢．

圖2

推論2 如圖2，H是△ABC的垂心，J為BC的中點．M，N在直線BC上且關于J對稱．過H且垂直于HM的直線交直線AC于點D，交直線AB于點E；過H且垂直于HN的直線交AC于點F，交直線AB于點G，則(i)EF//DG；(ii) △MDE與△NGF反向相似．

證明(i)擂題中已證：JH⊥EF．同理可證：JH⊥DG．所以EF//DG．

(ii)推論1中已證△MHE與△NHF反向相似．同理可證：△MHD與△NHG反向相似．并且這兩對相似三角形的相似比都是|MH|:|NH|．由此易得結論．證畢．

另外，注意到擂題的證明中得到的E，F的橫坐標互為相反數，即有：

推論3 如圖1，在擂題(121)條件下，則BC邊上的高AO平分EF．

特別地，當M、N與J重合時，EF過垂心H，由推論3得：

圖3

推論4 如圖3，設H是△ABC的垂心，J為BC的中點，過H且垂直于HJ的直線交直線AB于點E，交直線AC于點F，則H是EF的中點．

評注(評注人：郭要紅，2019年3月31日) 本擂題收到正確攻擂稿件4份，按時間順序，作者依次是吳波(重慶市長壽龍溪中學，401249，2019年2月22日)，張云華(四川省成都華西中學，610051,2019年2月23日)，個屋院(2019年2月24日)，孫純祥(忠縣臨港初級中學，404342,2019年2月27日)。我們選擇刊登吳波老師的來稿作為本擂題的解答，吳老師也是擂題獎金的獲得者. 文章署名表明作者擁有文章的著作權與文責自負，懇請作者來稿注明真實姓名。