把握問題本質 立足數學建模 生成解法多樣
——拋物線中三角形面積最值的解法探究

江蘇省南京市金陵中學西善分校 (郵編：210041)

1 試題呈現

圖1

(2018年山東泰安第24題)如圖1，在平面直角坐標系中，y=ax2+bx+c交x軸于點A(-4，0)、B(2，0)，交y軸于點C(0，6)，在y軸上有一點E(0，-2)，連接AE．

(1)求二次函數的表達式；

(2)若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求△ADE面積的最大值；

(3)拋物線對稱軸上是否存在點P，使△ABC為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點P的坐標，若不存在，請說明理由．

2 特點解讀

2.1 背景熟悉，層次清晰，考查真功

全國各地的中考試卷中，以二次函數圖象為背景的考題屢見不鮮，是中考的重點話題之一．本題以二次函數為背景，借助平面直角坐標系和坐標，將拋物線和幾何圖形有機結合起來，實現了“以數解形、以形助數”的目的．不僅考查“數與代數”和“圖形與幾何”的核心知識，同時也蘊含著數形結合、分類討論、特殊到一般等數學思想，其計算部分的方法也為以后的解析幾何奠定了基礎．

本題已知與坐標軸的交點A、B、C，求函數表達式．方法不唯一，可設一般式也可設交點式，是基于學生的理解考查基本功．問題2中，拋物線內嵌了一個三角形，另一個定點卻在y軸上，探究動點問題的三角形面積最值，整個配圖一條拋物線和一個三角形，問題清晰明了，圖形也簡潔清爽．本題的設置由易到難，梯度分明，不管是求表達式，還是探究面積最值，或是等腰三角形的分類討論，都是數學中的基本問題，每個層次學生均能有所收獲．在熟悉的背景下，考查了學生的基礎知識、基本計算、基本問題解決等數學基本功．

2.2 注重理解，立足建模，解法多樣

筆者結合近幾年各地中考試題，發現與本題素材類似的試題較多，二次函數的圖象綜合題或多或少都有“最值”的影子，仔細研究，不難發現此類題有個共同的特點．題目入口很寬，思路靈活，既涵蓋了拋物線和三角形的綜合知識，又突出了對問題本質和思維能力的考查．試題還立足于數學建模，不同視角下的建模就能生成不同的解法，有偏重于計算，有偏重于理解的，有偏重于轉化的，形式多樣，精彩萬千，兼顧到了不同層次、不同思維、不同能力下各類學生的數學理解，具有很高的信度和效度．

史寧中教授認為，最基本的數學思想有三種，抽象、推理和模型．本題不管是哪種方法求面積最值，最終的核心都要回到建立模型上，用建模來統領所有解法具有很好的指導價值．因此，此類題作為中考的優質素材，不僅實現了一題多解到多解歸一的升華，同時也提升了學生的思維空間．

3 解法賞析

本題3個小問的解法均不唯一，限于篇幅，這里只探究第(2)問的解法．

拋物線中動點三角形面積最值問題解決方法通常可分為兩大類：一是運用“代數解析”的方法，將面積建立二次函數模型，利用二次函數最值解決；二是運用“構圖分析”的方法，建立幾何模型，從運動的角度分析出最值位置，求出此位置的面積即可．

3.1 代數解析，建立函數模型

(1)思路：運用填補，化不規則圖形為規則圖形

圖2

評析當三角形的三邊都不與x軸或y軸平行時，填補成規則圖形，這種面積的間接算法是求面積的常見思路．此思路下，還可以填補轉化為直角梯形等多種規則圖形，計算原理都是一樣．

(2)思路：借助平行，構造相似，直接求高

圖3

評析底邊長度已知的情況下，用直接求高來表示面積也未嘗不可．在平面直角坐標系中，垂直線段的長度基本都可通過構造相似求解，這也是坐標系中研究幾何圖形的常用方法之一．

(3)思路：借助平行，改變形狀，轉化面積

圖4

評析平行線可以利用同底等高在面積不變的前提下改變三角形的形狀，從而可以達到改“斜”歸“正”的目的，是“轉化思想”的一種體現．

(4)思路：運用切割，左右整合，寬高求積

圖5

評析平面直角坐標系中任意三角形按左右分割，再整合左右就能推出寬高公式，面積等于水平寬與鉛直高乘積的一半．在理解原理的情況下，此法能幫助學生更加便捷地計算面積，是筆者認為值得推廣的方法之一．

3.2 構圖分析，建立幾何模型

(1)思路：平移視角，相切位置，面積最大

圖6

評析借助平移，換個視角動態分析，找“形”上的臨界位置，轉化為“數”上的關系解決．這種“以形助數，以數解形”的思想，是數學思維和能力的更高體現．

圖7

(2)思路：分析規律，中點位置，面積最大

評析在理解面積為二次函數的前提下，通過圖象的對稱性，推理出最值的位置．此法對于學生的觀察力和分析推理的能力要求很高，而且關于“中間位置為最值”的認識，也可以用代數解析的方法證明這個結論，當動點橫坐標等于與拋物線兩交點的中點橫坐標時，面積最大．

4 教學導向

4.1 關注學生思維差異，從“一題一解”到“一題多解”

解題活動是數學教學最基本的活動形式，學會解題是學好數學的關鍵. 筆者認為解題教學不能以一解論之，因為學生的思維不同，有的偏重于代數的計算，有的偏重于圖形的分析，有的偏重于問題的推理，而一道好題的解法應當會兼顧到各類層次的學生，會關注到各種思維的差異，因此教師要讓每位學生都學有所獲，得到發展，就必須關注學生的差異，立足于學生的思維來教解題．

基于學生不同視角下對問題的理解，不同想法就可以誕生出不同的解法，只要解法思路合理，可鼓勵學生大膽嘗試. 這樣一來，一道“一題多解”的題，它的價值就能得以體現，它的立意也不再局限于“一道”，不但充分挖掘了知識方法間的聯系，而且還能從多解中提升學生的思維，激發數學的興趣．

4.2 提煉解題思想方法，從“一題多解”到“多解歸一”

研究一道中考好題，整理不同思維下的解法，實際上是一個學教解題的過程．學生的解法可以是單向，但教師的認識必須是多維的．一題多解并不是為了炫技能，它恰恰反映的是教師對試題研究是否充分和對背后知識理解是否透徹，歸根到底考驗的是教師解題教學的基本功．筆者認為教師的解題教學必須先從研究試題開始，因為只有打開思路，研究多種視角多種解法，教師才有可能站在更高的高度，比較解法之間的差異，關注解法之間的聯系，提煉出更好的解題思想來統領所有解法，即“多解歸一”．這樣教給學生的解法，才是完整的，是有高度的，是真正蘊含“數學思想”的方法．

知識是永遠學不完的，題目也是永遠做不完的，題只是知識方法的一個載體，通過解題的過程，理解知識的原理，提煉方法的本質，注重解法的策略，讓學生解題有“一題多解”的能力，也有“多解歸一”的認識，這才是解題教學的目標.