聚焦思維方法 指向問題本質
——對一道聯賽題的探究與思考

浙江省溫嶺中學 (郵編：317500)

2017年9月10上午全國高中數學聯賽一結束，筆者當日下午就參加了浙江賽區在杭州的閱卷工作.對第9題的批閱和同事的討論，激發了對該題的深入探究.

1 試題展示

2 試題特點

本題作為解答題第1題(解答題共3題)，它源于平時高考范圍內的常見題，所涉及的知識不超過高考要求，但在有些處理手法上略有提高.本題語言簡潔、解題入口寬、層次多，具有非常明顯的區分度.數學素養一般的考生，通過對問題的合理分析，運用常規的討論等方法，能夠得到自己理想的結論，但是時間的成本會較大；而數學素養好、思維品質好的學生，能快速直達問題的本質，此題的本質在于分析拋物線的“陡峭程度”.因為k、m其實只影響f(x)=x2-kx-m的圖象位置而不影響其形狀，故本題其實是討論f(x)=x2的圖象中使得函數值差距不超過2的最長區間，即在分析拋物線的“陡峭程度”.

3 多視角下的方法探究

視角一三點法的視角

令f(x)=x2-kx-m,x∈[a,b], 則f(x)∈[-1,1], 于是

f(a)=a2-ka-m≤1

①

f(b)=b2-kb-m≤1

②

③

由 ①+②-③×2，得

視角二對稱軸討論的視角

令M=f(x)max-f(x)min, 則M≤2 對任意x∈[a,b]恒成立.

M=f(a)-f(b)=(a-b)(a+b-k)

≥(a-b)(a+b-2b)=(a-b)2,

點評利用對稱軸與區間的討論，得出函數在區間上的單調性，然后得出M的表達式，再利用不等式放縮即可.大多數考生會從這個角度去思考和解題，他們能寫出討論的全部4種情況或者其中的幾種情況. 一些優秀的學生會把(3)、(4)兩種情況合起來：

視角三最小值討論的視角

圖1

不妨設f(x)=x2-r,x∈[a′,b′],b-a=b′-a′ ，下面對x∈R時，討論f(x)的最小值，

(1)若f(x)min<-1, 即r>1,

(2)若-1≤f(x)min≤1, 即-1≤r≤1,

圖2

(3)若f(x)min>1, 則|f(x)|≤1 無解.

點評首先把f(x)視為f(x)=x2-r,這需要對二次函數有本質的理解，學生需要較好的數學素養，這樣處理簡化了后續的運算.其次此解法的本質是通過研究f(x)的圖象與直線y=1 或y=-1交點的橫坐標之差，來刻畫b-a的范圍.從具體的背景中抽象出一般的數量關系，概括出問題的本質，再從直觀的圖形角度來解決問題，認識了數與形的關系，在解決問題過程中，有利于培養學生直觀想象的核心素養. 對上面的解法可進一步優化為：不妨設f(x)=x2-r,對?x∈[a,b]，均有|f(x)|≤1.

下面對r進行討論.

當r>1 時，由|f(x)|≤1，得-1≤x2-r≤1,r-1≤x2≤r+1,

視角四反證法的視角

(1)若k≤2a或k≥2b, 則a+b-k≥b-a或a+b-k≤-(b-a)，

|f(a)-f(b)|=|b-a||b+a-k|≥|b-a|2>8>2,

(2)若2a

(3)若a+b

綜上①、②、③知總存在x1、x2∈[a,b], 使|f(x1)-f(x2)|>2.

視角五函數凹凸性的視角

-1≤x2-kx-m≤1 對?x∈[a,b] 恒成立，因為y=x2-kx-m為下凸函數，

即0≤(a-b)2≤8，

視角六競賽的視角

由拉格朗日插值恒等式知

f(x)=x2-kx-m

比較上式兩邊x2的系數，得

整理得

4 思考與建議

(1)此題雖有著“入手易，解法多”的特點，但部分考生仍感覺力不從心.因此在平時的教學中應關注學生思維，重視問題的本質.張奠宙教授曾說：“數學教學的有效性關鍵在于對數學本質的把握、揭示和體驗”.因此在平時教學中盡量留給學生足夠的時間讀題、審題，在這個過程中讀出若干思維角度，審出題目結構，理解問題本質.

(2)數學教學是“慢”藝術，若短時間內把所有好的數學思想方法打包發給學生，往往因空間不足而無法解壓.因此，在教學中教師要敢于等待學生，陪伴學生重筑數學知識的形成之路，而不要在某些經典知識上一筆帶過.

(3)平時所謂的難題通常對多個知識點進行交叉和互融考察，數學素養較高的學生遇到難題時會把多種通法綜合在一起，創造出含有“技巧性元素”的方法.因此，在平時的教學中，注重對知識“通性通法”的教學，通法就是遵循數學的思維特征分析問題和解決問題，只要對問題解決的通性通法熟練、高效，某些技巧性方法自然會應運而生.

(4)注重高中數學與拓展知識之間的聯系.比如函數的凹凸性、不動點理論、拉格朗日插值恒等式、極限思想等，其實平時試題中常會出現用琴生不等式秒殺的問題等.再如極限思想在函數零點判斷問題中會常用到.