一道課本習題的解答引起的聯想

甘肅臨澤一中 (郵編：734200)

問題1 (人教版.普通高中課程標準實驗教科書.數學2.必修A版，第132頁習題4.2A組第11題)

求經過點M(3,-1)且與圓C:x2+y2+2x-6y+5=0相切于點N(1,2)的圓的方程.

常規解法設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.

由題意，可得

(1)

故所求圓的方程為

關于a、b、c的方程組(1)容易列出，但解該方程組運算量非常大，既要平方去根號，又要代入消元，這對學生數據處理能力的考查要求非常高，絕大多數學生會因為運算量太大而半途而廢，怎么辦？有無簡便方法？

聯想1 若圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，則過兩圓交點的圓方程可設為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

題目中已知的圓只有一個，怎樣再找一個呢？

聯想2 若圓的一條直徑的兩端點分別是A(x1,y1)，B(x2,y2).

則此圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

題目中只有一個切點，并不是兩個交點，怎么辦？

聯想3 利用極端化思想

若把直線與圓相切視為直線與圓相交的特殊情形，把切點視為重合的兩交點，則可設過切點N(1,2)的圓方程為(x-1)(x-1)+(y-2)(y-2)=0，即點圓(x-1)2+(y-2)2=0.

于是可得下面的簡便解法：

結論1 若圓C與圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0切于點P(x0,y0)，則圓C的方程可設為(x-x0)2+(y-y0)2+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0.(易證，略)

常規解法設圓C的方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.又圓C1的圓心C1(1,0)，半徑為1，

(2)

同樣，關于a、b、r的方程組(2)容易列出，但解該方程組運算量非常大，既要平方，又要去絕對值符號，怎樣才能簡少運算量，迅捷解決問題呢？

聯想4 若直線l：Ax+By+C=0 ，圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，則過直線l與圓C1交點的圓方程可設為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(Ax+By+C)=0.

題中已知的圓只有一個，利用切點再找一個.

聯想5 利用極端化思想

化簡得λ+6=2|λ|，

從而得λ=6或λ=-2.

當λ=-2時，圓C的方程為x2+y2-8x+12=0.

結論2 若圓C與直線l：Ax+By+C=0切于點P(x0,y0)，

則圓C的方程可設為(x-x0)2+(y-y0)2+λ(Ax+By+C)=0.(很容易證明，本文略)

由此可見，在求圓方程時，對于有關切點的問題，若能利用極端化思想，大膽聯想，積極探索，定可事半功倍，巧妙解決問題.

鞏固練習

2.已知圓C與圓C1:x2+y2-2y=0相外切，并且與直線l：x+y-7=0相切于點N(4,3).求圓C的方程(答案：x2+y2-4x-2y+4=0).