變換 數(shù)學(xué)解題中一道亮麗的風(fēng)景

湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) (郵編：430312)

湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 胡 萍 (郵編：430300)

法國科學(xué)家貝爾納曾指出：良好的方法使我們更好地發(fā)揮運(yùn)用天賦的才能，而拙劣的方法會抑制才能的發(fā)揮，可見解決問題時選擇一種好的方法至關(guān)重要，這既能使我們高效快捷地達(dá)到目的，又有利于我們提升能力．本文結(jié)合實例談?wù)剶?shù)學(xué)變換在優(yōu)化解題中的巧妙應(yīng)用．

1 平移

解由y=x3-6x2+13x-9得y=(x-2)3+(x-2)+1，它的圖象可由奇函數(shù)y=x3+x的圖象向右平移兩個單位，向上平移一個單位得到，先來考慮問題的簡單情形：

點(diǎn)評例1中的函數(shù)圖象都是中心對稱圖形，經(jīng)過平移將對稱中心移至坐標(biāo)原點(diǎn)，簡化了問題，優(yōu)化了解題過程，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

2 對稱

例2 (武漢市2019屆高三二月調(diào)考第12題簡編)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，關(guān)于x的不等式f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為______.

點(diǎn)評將問題歸結(jié)為兩個我們較為熟悉的函數(shù)圖象間的位置關(guān)系解決，觀察出m(x)與n(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，將問題化歸為其中一個函數(shù)圖象與直線y=x的圖象位置關(guān)系是關(guān)鍵，考驗學(xué)生的直覺思維．

3 伸縮

點(diǎn)評利用伸縮變換將橢圓還原成圓，增強(qiáng)了圖形的“幾何特征”，為借用平面幾何方法解決問題創(chuàng)造了有利條件．

4 旋轉(zhuǎn)

當(dāng)且僅當(dāng)4k2+1=k2+4，即k=±1；

綜上四邊形ABCD面積的最大值為5．

點(diǎn)評抓住四邊形的面積僅與點(diǎn)M同圓心的距離有關(guān)這一本質(zhì)，借助旋轉(zhuǎn)，將點(diǎn)M移至坐標(biāo)軸上，簡化了直線方程的形式，減少了計算．

從以上幾例不難發(fā)現(xiàn)，無論是平移、伸縮還是旋轉(zhuǎn)，本質(zhì)上都是將復(fù)雜的問題簡單化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想，對圖形進(jìn)行合理變換能降低計算難度，明晰解題方向，優(yōu)化解題過程，是一種很好的解題策略.