由一個45度角想到的

江蘇省昆山市費俊龍中學 (郵編：215300)

關鍵字 45度；旋轉；相似；全等

45度角是初中幾何經常碰到的特殊角,遇到45度角，往往會聯想到等腰直角三角形、正方形等特殊的幾何圖形，并進而衍生出一系列有意思的結論.在平時的解題中，如果我們做到解法多樣，同時找到題目的原始模型，并進行適當的變式訓練，掌握正確有效的解題方法，相信就可以避免題海戰術，從而增加解題的樂趣.

1 問題原型

圖1

例1 如圖1，已知等腰直角三角形ABD中，點M和點N在斜邊BD上，且滿足∠MAN=45°，求證：BM2+DN2=MN2.

證法1 旋轉法

圖2

如圖2，將△ABM繞點A逆時針旋轉90度得到△ADM′，可得△ABM≌△ADM′，所以∠ADM′=∠B=∠ADB=45°，故∠M′DN=90°，所以DM′2+DN2=M′N2，因為∠BAM+∠DAN=45°，所以∠DAM′+∠DAN=45°，即∠M′AN=45°，由SAS可得△M′AN≌△MAN，所以BM=DM′，MN=M′N，故BM2+DN2=MN2.

證法2 對稱法

圖3

本題是等腰直角三角形及正方形45度角模型中的一道經典題目，下面筆者想針對這一模型對例1做進一步的推廣和研究，我們發現有關這個模型的結論可以說是“源源不斷，用之不竭”.

2 拓展1

本例主要是借助與正方形有公共點的45度角模型，運用旋轉的相關知識，抓住旋轉前后的一些對應關系來挖掘出一系列結論.

圖4

例2 如圖4，如果將等腰直角三角形ABD沿BD翻折，我們可以得到正方形ABCD，若∠MAN=45°，延長AM與BC交于點P，延長AN與CD交于點Q，設正方形邊長為1，我們可以進一步證明以下結論：

(1)BM2+DN2=MN2；

(2)△CPQ的周長等于2；

研究對象選自2015年12月至2017年12月本院診治的急性糜爛出血性胃炎大出血患者100例,隨機對其進行分組,分成50例研究組和50例對照組,所有患者均知情同意參與本次研究。其中研究組50例患者中男性患者34例,女性患者16例;年齡在52-80歲,平均年齡(69.81±11.2)歲;主要臨床表現為嘔血和便血。對照組50例患者中男性患者33例,女性患者17例;年齡在51-79歲,平均年齡(68.34±10.93)歲;主要臨床表現為嘔血和便血。研究組與對照組在性別、年齡以及主要臨床表現等方面對比無明顯差異,P>0.05,無統計學意義。

(3)PQ=BP+DQ；

(4)點A到線段PQ的距離等于1；

(5)AN=NP；

(6)AM=MQ；

(7)連接MQ,NP交于點O，則AO所在直線垂直于PQ；

(8)△AMN的面積為△APQ面積的一半；

(10)PQ2=2(BM2+DN2).

證明(1)結合例1，易證.

圖5

(2)如圖5，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉90度得到正方形ADST，因為∠PAP′=90°,所以∠PAQ=∠P′AQ=45°，又因為AQ=AQ，PA=P′A，根據SAS可得△PAQ≌△P′AQ，所以P′Q=PQ，所以△PCQ的周長=PC+CQ+PQ=P′S+CQ+P′Q=2.

(3)由旋轉的性質可得P′D=BP，PQ=P′Q，因為P′Q=P′D+DQ，所以PQ=BP+DQ.

(4)因為△PAQ≌△P′AQ，所以∠AQP′=∠AQP，同時∠ADQ=∠AHQ=90°，AQ=AQ，根據AAS可得△ADQ≌△AHQ，所以AD=AH=1.

(5-6)因為∠PAQ=∠DBC=45°，故A、B、P、N四點共圓，由此得∠ABD=∠APN=45°，故△APN為等腰直角三角形，即AN=PN，同理可得AM=QM.

(7)設線段PN，QM交于點O，由(5-6)可得AN⊥PN，AM⊥QM，所以點O為△APQ的垂心，根據三角形的三條高交于同一點，可得AO⊥PQ.

(10)由于BM2+DN2=MN2，因為由(9)得PQ2=2MN2,所以PQ2=2(BM2+DN2).證畢.

圖7

思考接下來我們探究如何尋找點P、點Q，使之符合上述題目條件.如圖6，以A為圓心，線段AB長度為半徑作圓弧，易知必經過點D，在圓弧上任取一點T，過點T作圓A的切線，根據切線長定理可得PB=PT，QD=QT， ∠BAP=∠TAP,∠DAQ=∠TAQ，易證∠PAQ=45°，反之如圖7，若PQ所在直線與圓A相離，做直線P′Q′∥PQ且與圓O相切，可得∠PAQ<∠P′AQ′,故∠PAQ<45°.同理若PQ所在直線與圓A相交，可得∠PAQ>45.

綜上我們得到以下結論：當且僅當PQ所在直線與圓A相切時，∠PAQ=45°.

3 拓展2

類似地，等腰直角三角形及正方形45度角模型，我們可以從軸對稱的視角構造出全等三角形，同樣可以發現很多有意思的結論.

圖8

例3 如圖8，正方形ABCD中，∠MAN=∠MCN=45°,求證：(1)BM2+DN2=MN2；(2)S△MCN+S△MAB+S△NAD=S△MAN+S△MBC+S△NCD.

圖9

證明(1)如圖9，將△ABM沿AM翻折至△AEM,所以BM=EM，設∠BAM=∠EAM=x，可得∠DAN=∠EAN=45-x.同時AD=AE，AN=AN根據SAS可得△DAN≌△EAN,所以DN=NE.

將△BCM沿CM翻折至△FCM，所以BM=FM，同理可得△DCN≌△FCN，所以DN=FN，

由上得EM=FM，EN=FN，由SSS可得△MEN≌△MFN，因為∠MEN+∠MFN=180°，所以∠MEN=∠MFN=90°，根據勾股定理ME2+NE2=MN2，可得BM2+DN2=MN2.

(2)如圖9，S△MCN+S△MAB+S△NAD=S△MCN+S△AME+S△ANE=S四邊形AMCN+S△MEN，同理我們可以得到S△MAN+S△MBC+S△NCD=S四邊形AMCN+S△MFN，所以S△MCN+S△MAB+S△NAD=S△MAN+S△MBC+S△NCD.

4 拓展3

前面我們主要從幾何變換的角度來探究等腰直角三角形及正方形45度角模型，下面我們換個角度，用相似的眼光，來進一步探究此模型會給我們帶來哪些結論.

圖10

例4 如圖10，正方形ABCD中，∠PAQ=45°,延長AP交CD的延長線于E,延長AQ交BC的延長線于F,求證:

(1)AC2=CE·CF；

(2)AB2+BP2=PC·PF，AD2+DQ2=CQ·QE.

通過上述探究分析過程，我們可以發現，等腰直角三角形及正方形45度角模型中，蘊含著豐富而巧妙的幾何關系，本文中所涉及的可以說只是冰山一角，關于此類模型的圖形寶庫中肯定還有很多有意思的結論值得挖掘.