例談?wù)n本習(xí)題模式的認(rèn)識(shí)與思考
——基于智慧學(xué)校環(huán)境下的初中數(shù)學(xué)習(xí)題模式教學(xué)分析

合肥市第四十六中學(xué)南校區(qū) (郵編：230091)

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 阮 征 (郵編：230601)

合肥市肥西縣上派初級(jí)中學(xué) 衛(wèi)德彬 馬遇青 (郵編：231200)

1 問題的提出

近幾年隨著大數(shù)據(jù)、互聯(lián)網(wǎng)、云計(jì)算等信息化技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域的滲入，智慧學(xué)校平臺(tái)應(yīng)運(yùn)而生，所謂智慧學(xué)校就是綜合運(yùn)用各種新興的信息技術(shù)，使其與教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)深度融合，以提高教育教學(xué)質(zhì)量水平的新型校園生態(tài)[1].而在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠?qū)η懊嫠鶎W(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行濃縮、幫助學(xué)生形成知識(shí)體系、有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、使學(xué)生加深對(duì)相關(guān)題型解題方法的了解、同時(shí)補(bǔ)救授課過程中存在的不足的課型就是習(xí)題課[2].說到習(xí)題課自然少不了要說習(xí)題，而最好的數(shù)學(xué)習(xí)題素材其實(shí)就來自課本.由于初中數(shù)學(xué)課本上的習(xí)題大多是編寫者精挑細(xì)選后的“精華”，所以教師完全可以將其作為模式使用的典型題，充分發(fā)揮它們?cè)诮忸}中的模式作用[3].這里所謂的模式，就是指某種事物、某個(gè)實(shí)踐活動(dòng)或動(dòng)作的定型樣式.為此，本文嘗試將智慧學(xué)校平臺(tái)與課本習(xí)題模式結(jié)合起來，以滬科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)教科書中“三角形中位線定理”這一課時(shí)內(nèi)容的習(xí)題和一組與之相關(guān)的問題為例，從“模式的認(rèn)識(shí)”、“模式的變型”和“模式的應(yīng)用”等方面對(duì)智慧學(xué)校環(huán)境下的初中數(shù)學(xué)習(xí)題模式教學(xué)予以分析說明.

2 教學(xué)分析

2.1 模式的認(rèn)識(shí)

模式認(rèn)識(shí)的關(guān)鍵是需要教師對(duì)作為樣本是的習(xí)題模式從已知條件、待求(證)結(jié)論、解題過程等方面進(jìn)行全面而又細(xì)致的分析，并抽取其主要特征進(jìn)行儲(chǔ)存，以便在應(yīng)用模式解題時(shí)能迅速地進(jìn)行模式識(shí)別，下面以課本第85頁(yè)習(xí)題19.2的第13題為模式進(jìn)行分析.

題目求證：順次連接任意四邊形四條邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形.

分析教師運(yùn)用智慧學(xué)校平臺(tái)特有的作圖功能，快速畫出準(zhǔn)確的幾何示意圖，如圖1所示，有了直觀的示意圖之后，本題即可以理解為：

已知四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE.

求證四邊形EFGH是平行四邊形.

圖1

證明連接AC,

因?yàn)锳H=HD，CG=GD.

所以HG∥EF，HG=EF.

故四邊形EFGH是平行四邊形.

通過分析智慧學(xué)校平臺(tái)展示的本題證明過程，不難從“已知條件、待證結(jié)論、解題過程”這三個(gè)方面發(fā)現(xiàn)作為模式的題目1有如下特征：

(1)已知條件：①四邊形EFGH為一般四邊形(任意四邊形)；②四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F、G、H.

(2)待證結(jié)論：四邊形EFGH是平行四邊形(特殊四邊形).

(3)解題過程：①應(yīng)用 “三角形中位線定理”；②添輔助線“四邊形ABCD的對(duì)角線AC”，構(gòu)造其內(nèi)部的三角形.

2.2 模式的變型

通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，教師運(yùn)用智慧學(xué)校網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)環(huán)境來主動(dòng)對(duì)模式進(jìn)行變型或辨別變型模式可大大加深對(duì)模式的認(rèn)識(shí)，更能提高學(xué)生的解題能力和歸類能力.以剛才那道習(xí)題為例，可進(jìn)行如下幾種變型：

變型1 求證：順次連接矩形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形是菱形(課本第98頁(yè)習(xí)題19.3的第8題).

變型2 求證：順次連接菱形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形是矩形.

圖2

變型3 如圖2所示，在等腰梯形ABCD中 ，AD∥BC，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是菱形.

圖3

變型4 如圖3所示，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若AC=BD，求證：四邊形EFGH是菱形.

綜上不難發(fā)現(xiàn)變型1—變型4都是在先前那道課本習(xí)題的基礎(chǔ)上通過強(qiáng)化條件擬就的.

此外，倘若改變圖形的位置，即可生成變型5和變型6，智慧學(xué)校平臺(tái)在這里則有效實(shí)現(xiàn)了圖形的變換以及圖形上關(guān)鍵點(diǎn)位置移動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程，讓學(xué)生能夠清晰地看到由前一題的圖形經(jīng)過怎樣的變化生成這一題的圖形，有效避免了學(xué)生因圖形的變換或上面的關(guān)鍵點(diǎn)突然換位而造成的思維不適應(yīng).

圖4

變型5 如圖4所示，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

圖5

變型6 如圖5所示，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，且AB=CD，求證：四邊形EFGH是菱形.

仔細(xì)觀察變型1—變型6，不難察覺到經(jīng)過“強(qiáng)化條件”和“改變圖形位置”后得到的變型題，仍保留了題目原型的主要特征，在智慧學(xué)校平臺(tái)環(huán)境的輔助下實(shí)現(xiàn)了真正意義上的“換湯不換藥”.

2.3 模式的應(yīng)用

除了模式的變型外，應(yīng)用模式解題也是一節(jié)初中數(shù)學(xué)習(xí)題課取得成功的重要法寶，模式應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)就在于發(fā)現(xiàn)習(xí)題的主要特征，并與已知模式的主要特征建立聯(lián)系，從而順利地進(jìn)行模式的識(shí)別.因而能否在“習(xí)題”和“模式”間建立聯(lián)系，則在較大程度上決定著解題的速度和準(zhǔn)確性，而有了智慧學(xué)校平臺(tái)的數(shù)學(xué)習(xí)題課做到了，這里依然以前文那道題為模式進(jìn)行探討.

應(yīng)用1 求證：連接四邊形對(duì)邊中點(diǎn)的兩條線段互相平分.

分析本題的已知條件與模式中的完全相同，已知條件有：①四邊形；②四邊形各邊上的中點(diǎn).因此，完善模式的結(jié)論，即添加輔助線，順次連接各邊中點(diǎn)的平行四邊形，進(jìn)而推導(dǎo)出本題結(jié)論.

圖6

應(yīng)用2 如圖6所示，四邊形ABCD中，∠ABC+∠DCB=90°，點(diǎn)E、F分別為邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H分別為對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn).求證：EF=GH.

分析由本題的已知條件四邊形ABCD和它的一組對(duì)邊的中點(diǎn)E、F，兩條對(duì)角線的中點(diǎn)G、H，可以聯(lián)想到模式的變型5，不難發(fā)現(xiàn)本題仍需

要通過完善模式變型的結(jié)論來尋找證明途徑.依次連接E、G、F、H各點(diǎn)后得到平行四邊形，延長(zhǎng)FH交CD于點(diǎn)K(或延長(zhǎng)FG)，易證∠FKC=90°，進(jìn)而易證四邊形EGFH是矩形，故EF=GH.

以上兩題中的部分已知條件或與模式、或與模式變型中的主要特征相同，所以在解題時(shí)只要完善結(jié)論、利用模式的結(jié)論作中途點(diǎn)，即可順利找到解題途徑.

圖7

應(yīng)用3 如圖7所示，四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N為邊AD、BC的中點(diǎn)，MN交AC于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)G，且BD=AC.求證：OG=OH.

分析由本題的已知條件易聯(lián)想到模式的變型4，取邊AB、CD的中點(diǎn)，可得菱形MENF，進(jìn)而推導(dǎo)∠EMN=∠ENM.又由三角形中位線定理，可推導(dǎo)出EM∥BD，EN∥AC，故∠EMN=∠OGH，∠ENM=∠OHG.綜上可得∠OGH=∠OHG，所以O(shè)G=OH.

3 小結(jié)

本節(jié)習(xí)題課在追尋高效、智慧的數(shù)學(xué)教學(xué)的同時(shí)，充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，探究新型的課堂教學(xué)模式服務(wù)于數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)，至始至終都沒有脫離課本，并且以課本習(xí)題為模式，努力做到解讀課本、重構(gòu)課本并超越課本[4].可以說這次借助智慧學(xué)校平臺(tái)環(huán)境對(duì)一道課本習(xí)題模式進(jìn)行有效的認(rèn)識(shí)、變型與應(yīng)用的嘗試，不同于以往的初中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué).因?yàn)檎n本習(xí)題可以比喻為教材編寫者精心編寫的“源”，而大多數(shù)課外輔導(dǎo)資料則可看成是以“源頭”——課本習(xí)題為模式編寫而成的“流”[5]，所以以課本習(xí)題為模式并結(jié)合智慧學(xué)校平臺(tái)的動(dòng)態(tài)圖形演示的新型習(xí)題課有效激發(fā)了學(xué)生的形象思維和邏輯思維，使其能夠高效率地吸收解題方法的精髓并觸類旁通，更為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)提供了一個(gè)優(yōu)質(zhì)的平臺(tái)，可以說這次新型初中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)是一次正確的嘗試，在不久的將來必能得到大力推廣.