微觀分析圖象 探微尋法悟理

安徽省金寨第一中學 六安市名師工作室 (郵編：237331)

解決函數問題思維切入點從何而來？靈感因何而生？毫無疑問，對圖象的分析必不可少，很多時候，靈感來自圖象.分析圖象有時需要把握全局，分析整體，有時只需微觀探究，盯準局部，微觀分析，尤其涉及函數零點、極值點問題.筆者在文[1]進行了討論，近日研究部分高考題，更發現微觀分析圖象，找到解題靈感之重要性，現舉例說明.

1 見微知理

題1(2018年全國高考理科(Ⅲ)卷21題)已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，證明：當-10時，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點，求a.

分析第二問.函數的定義域是(-1,+∞).由(1)可知a≥0不合題意，只要考慮a<0.現在利用f(x)的微圖結合f(x)的導數f′(x)分析.

第一，注意到f(0)=0，f(x)在x=0處連續，若f(x)在x=0處取得極大值，則f(x)在x=0的鄰域(-δ,δ)(鄰域：本文中指“極小”的區間，下同)內，恒有f(x)≤0，可作出其“微圖”，如圖1.

圖1

第二，f(x)在x=0處取得極大值，則在x=0的鄰域(-δ,δ)內f(x)先增后減，f′(x)在x=0處先正后負且f′(0)=0，對應的f′(x)微圖應為：在y軸左邊圖象在x軸上方，y軸右邊圖象在x軸下方.

圖2

h(x)在x=0的鄰域(-δ,δ)內連續，且h(x)=0，在x=0的鄰域(-δ,δ)內的微圖同圖1，這樣，問題轉化成函數h(x)在x=0處取得極大值(結合微圖分析，實現解決極值問題的“函數轉化”).下面求出h(x)的導數，再結合“微圖”對h(x)的導數h′(x)進行分析.

圖3

(1)當6a+1>0時，φ(x)如圖3(只需關注圖象在x=0的鄰域(-δ,δ)，下同)，取δ

圖4

(2)當6a+1<0時，φ(x)如圖4，取δ

圖5

(3)當6a+1=0時，φ(x)如圖5，取δ

從上述問題解決過程可以看出，用圖象輔助分析函數極值不一定要分析函數或導函數的整體狀況，只要探究極值點附近如何變化(這一點很重要，它可以避免了暫時對參數的討論)，瞄準極值點附近函數局部圖象，局部放大，微觀分析.因此，凡涉及極值問題，在分析圖象時均要想到“微圖分析”，既要分析函數在極值點附近的微圖，看“單調變化”；又要分析導函數在其零點附近的微圖，看“正負變化”，觀察導函數正負“走向”，如：是正負不變，還是由正變負或由負變正？從而知道函數能否取到極值，是極大值還是極小值.

微觀分析，也是極限思想的應用，如構造函數h(x)時，在x=0的鄰域(-δ,δ)內，2+x+ax2>0，h(x)與f(x)同號；分析導數h′(x)時，在x=0的鄰域(-δ,δ)內，(1+x)>0，2+x+ax2>0，使問題簡化.

2 探微索果

題2(山東省2015年高考理科21)設函數f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(1)討論函數f(x)極值點的個數，并說明理由；

(2)若?x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

分析第二問.顯然a<0不合題意，a=0，合題意.現在分析a>0時的情形.

雖然不知道f(x)在(0,+∞)整體單調性，但由于f(0)=0，所以微區間(0,δ)內，f(x)必然單增，亦即通過“微區間”分析，使隱含的信息凸顯(如本例中在(0,δ)內函數必須單增)，使問題解決的思維暴露.同樣的方法可以解決以下問題.

題3 (2017年全國高考理科(Ⅲ)卷21題)已知函數f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

(2)略.

圖6

分析(1)函數定義域為(0,+∞)，注意到f(1)=0，f(x)連續，因此，若f(x)≥0，則在x=1的鄰域內函數微圖如圖6，即x=1是函數極小值點，所以f′(1)=0，a=1(f(x)≥0的必要條件)，現在只要證明a=1時，f(x)≥0即可(易證，過程略).

題4(四川省2015年高考理科21題)已知函數f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0.

(1)設g(x)是f(x)的導函數，討論g(x)的單調性；

(2)證明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0在區間(1,+∞)內恒成立，且f(x)=0在區間(1,+∞)內有唯一解.

簡析第二問難度很大，用微圖輔助分析.

圖7

微圖分析使我們發現了隱含較深的“關系”，找到了問題解決的切入點.本例中，x0既是零點又是極小值點，滿足f′(x0)=0和f(x0)=0，并利用f′(x0)=0實現變量之間轉化.

3 以微定向

函數零點問題中，我們經常要求零點所在區間或證明某一單調區間上存在零點，用零點附近的微圖能夠確定解決問題的努力方向，再結合不等式放縮分析求解.

題5 (2017年全國高考理科I卷21題)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

圖8

而當00，根據零點存在性定理，上述兩個區間各有一個零點.但對于高中學生而言，極限方法不在學習內容之內，學生難以理解，教師難以講清楚，高考標準答案中也極力回避用極限方法求解(包括用洛必達法則求極限)，因此，只要能夠在這兩個區間上找到使f(ξ)>0的ξ值即可.分析可知，f(x)含零點在內的局部圖象如圖8(實線部分).

由于求f(x)的零點或得出f(ξ)>0的點ξ比較困難，考慮放縮成比原函數小且能夠求出零點的函數(圖中的虛線部分，一般與原函數在放縮的區間上單調性一致).

①先考慮區間(-lna,+∞)，怎樣找到使f(ξ)>0的ξ值呢？關鍵是在區間(-lna,+∞)上找到比f(x)小的函數φ(x)(這是微圖分析的結果).

由于x>0時，ex>x，當aex+(a-2)>0時(注：只要x>ln(2-a)，就有aex+(a-2)>0成立，我們就在x>ln(2-a)時進行放縮)，

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x=ex[aex+(a-2)]-x>x[aex+(a-2)]-x.

②再分析在區間(-∞,-lna)上能否尋找到使f(ξ)>0的ξ值.事實上，可以通過“試取”的方法得到ξ，但為了說明微圖的作用，并利用放縮法求解，同樣用上述方法分析.

圖9

當然，放縮的方式有無數種，但無論如何變式，都是基于對零點附近圖象探究而得到的啟發.如果零點附近圖象如圖9(實線代表原函數，虛線代表放縮后的函數)，則放縮應朝著大于原函數的方向進行.

用圖微觀分析的作用是：怎樣通過放縮找到并證明包含函數零點的區間端點.圖象是不等式放縮的直觀顯現和幾何解釋，學生理解更易.如果不用微圖分析，學生有時很難理解為什么要用不等式放縮，為什么朝著比原函數小(或者大)的函數方向放縮.

準確作圖，以微圖分析，是基本的數學能力，養成用圖分析的習慣，是基本數學素養的體現，微圖使思維“可視”，微圖使思維插上翅膀.函數教學時，要培養學生作圖用圖的意識，以圖助思維，以圖尋思路.